Каковы длины сторон прямоугольного треугольника ABC, где угол C прямой, если радиус описанной окружности составляет 2,5, а радиус вписанной окружности равен 1?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники длина сторон треугольника прямоугольный треугольник радиус описанной окружности радиус вписанной окружности треугольник ABC свойства треугольников геометрия треугольников

Для решения задачи о нахождении длин сторон прямоугольного треугольника ABC, где угол C прямой, мы будем использовать формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей.

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы. То есть, если обозначить гипотенузу как c, то:

• R = c / 2.

Так как R = 2.5, мы можем выразить c:

• c = 2 * R = 2 * 2.5 = 5.

Теперь найдем радиус вписанной окружности (r). В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности определяется по формуле:

• r = (a + b - c) / 2,

где a и b - катеты, а c - гипотенуза. Подставим известные значения:

• r = 1,
• c = 5.

Таким образом, у нас есть уравнение:

• 1 = (a + b - 5) / 2.

Умножим обе стороны на 2:

• 2 = a + b - 5.

Теперь выразим a + b:

• a + b = 2 + 5 = 7.

Теперь у нас есть две важные информации:

• Гипотенуза c = 5,
• Сумма катетов a + b = 7.

Для нахождения катетов a и b воспользуемся теоремой Пифагора:

• a² + b² = c².

Подставим значение c:

• a² + b² = 5² = 25.

Теперь у нас есть система уравнений:

• 1) a + b = 7,
• 2) a² + b² = 25.

Выразим b из первого уравнения:

• b = 7 - a.

Подставим b во второе уравнение:

• a² + (7 - a)² = 25.

Раскроем скобки:

• a² + (49 - 14a + a²) = 25.

Соберем подобные члены:

• 2a² - 14a + 49 = 25.

Переносим 25 в левую часть уравнения:

• 2a² - 14a + 24 = 0.

Упростим уравнение, разделив его на 2:

• a² - 7a + 12 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1.

Корни уравнения:

• a = (7 ± √D) / 2 = (7 ± 1) / 2.

Таким образом, у нас есть два корня:

• a₁ = (7 + 1) / 2 = 4,
• a₂ = (7 - 1) / 2 = 3.

Следовательно, катеты a и b равны 4 и 3. Мы можем записать:

• a = 4,
• b = 3.

Теперь мы можем подвести итог:

• Длина гипотенузы (c) = 5,
• Длина катета a = 4,
• Длина катета b = 3.

Таким образом, длины сторон прямоугольного треугольника ABC равны 3, 4 и 5.

Длины сторон прямоугольного треугольника ABC следующие:

• AB = 5
• AC = 4
• BC = 3