Каковы размеры острых углов треугольника FKM, если в прямоугольном треугольнике FKM с прямым углом KFM гипотенуза KМ равна 40, а площадь этого треугольника составляет 200, при этом угол K больше угла M?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники острые углы треугольника треугольник FKM размеры углов треугольника прямоугольный треугольник гипотенуза KМ площадь треугольника угол K больше угла M Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник FKM с прямым углом KFM. Обозначим углы треугольника следующим образом:

• угол K = α
• угол M = β
• угол F = 90°

Поскольку KFM - прямой угол, то сумма острых углов α и β равна 90°:

α + β = 90°

Также нам даны следующие данные:

• длина гипотенузы KM = 40
• площадь треугольника FKM = 200

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание и высота - это катеты треугольника, которые мы обозначим как a (катет KF) и b (катет FM). Таким образом, у нас есть:

(1/2) * a * b = 200

Упрощаем это уравнение:

a * b = 400

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая связывает катеты и гипотенузу:

a² + b² = KM² = 40² = 1600

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a * b = 400
2. a² + b² = 1600

Из первого уравнения выразим b через a:

b = 400/a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (400/a)² = 1600

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 1600a² + 160000 = 0

Теперь сделаем замену: x = a². Тогда у нас получится квадратное уравнение:

x² - 1600x + 160000 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 1600² - 4 * 1 * 160000 = 2560000 - 640000 = 1920000

Теперь найдем корни уравнения:

x = (1600 ± √1920000) / 2

Вычислим √1920000:

√1920000 = 1386.75 (приблизительно)

Теперь подставим это значение:

x1 = (1600 + 1386.75) / 2 ≈ 1493.375

x2 = (1600 - 1386.75) / 2 ≈ 106.125

Теперь найдём a² и b²:

• a² = 1493.375, b² = 106.125
• a = √1493.375 ≈ 38.65, b = √106.125 ≈ 10.3

Теперь, зная значения катетов, можем найти углы α и β с помощью тригонометрических функций:

• sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза = a / KM = 38.65 / 40
• cos(α) = прилежащий катет / гипотенуза = b / KM = 10.3 / 40

Теперь можем найти угол α:

α = arcsin(38.65 / 40) ≈ 53.13°

β = 90° - α ≈ 36.87°

Итак, размеры острых углов треугольника FKM:

• угол K ≈ 53.13°
• угол M ≈ 36.87°

Таким образом, угол K больше угла M, как и требовалось по условию задачи.