Какой объем фигуры вращения получается, если вращать прямоугольный треугольник с катетами 3 см и √3 см вокруг оси, которая проходит через его гипотенузу?

Геометрия 10 класс Объем тел вращения объем фигуры вращения прямоугольный треугольник катеты 3 см и √3 см гипотенуза геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти объем фигуры вращения, получаемой при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через его гипотенузу, мы можем воспользоваться методом интегрирования, однако в данном случае проще использовать формулу для объема конуса.

Сначала определим гипотенузу нашего треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

• Гипотенуза (c) = √(a² + b²), где a и b - катеты треугольника.
• В нашем случае a = 3 см и b = √3 см.
• Тогда c = √(3² + (√3)²) = √(9 + 3) = √12 = 2√3 см.

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы, можем определить радиусы оснований конуса, который получится при вращении треугольника:

• Радиус первого основания (r1) будет равен длине одного из катетов, например, 3 см.
• Радиус второго основания (r2) будет равен длине второго катета, то есть √3 см.

Теперь мы можем использовать формулу для объема конуса, которая выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * h * (r1² + r1 * r2 + r2²)

Где h - высота конуса, которая равна длине гипотенузы (2√3 см), r1 и r2 - радиусы оснований.

Подставляем значения в формулу:

• h = 2√3 см
• r1 = 3 см
• r2 = √3 см

Теперь вычислим объем:

V = (1/3) * π * (2√3) * (3² + 3 * √3 + (√3)²)

Вычисляем значения под скобками:

• 3² = 9
• 3 * √3 = 3√3
• (√3)² = 3
• Складываем: 9 + 3√3 + 3 = 12 + 3√3

Теперь подставляем это значение обратно в формулу:

V = (1/3) * π * (2√3) * (12 + 3√3)

Упрощаем:

V = (2/3) * π * √3 * (12 + 3√3)

Таким образом, мы получили объем фигуры вращения. Обратите внимание, что окончательное значение можно упростить, но для этого потребуется дальнейшее вычисление.

Итак, объем фигуры вращения при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и √3 см вокруг оси, проходящей через его гипотенузу, равен (2/3) * π * √3 * (12 + 3√3) см³.