Какой объем имеет конус, вписанный в конус, если его образующая равна 6 корней из 3 и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов?

Геометрия 10 класс Объем конуса объем конуса вписанный конус образующая конуса наклон конуса угол наклона плоскость основания геометрия конусов Новый

Для нахождения объема конуса, вписанного в другой конус, нам необходимо сначала определить радиус основания и высоту вписанного конуса. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение высоты вписанного конуса

Обозначим образующую вписанного конуса как "l", которая равна 6 корней из 3. У нас также есть угол наклона образующей к плоскости основания, равный 60 градусов. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты "h" вписанного конуса.

• Согласно определению, высота конуса может быть найдена через образующую и угол наклона:
• h = l * sin(угол наклона)
• Подставим значения: h = (6√3) * sin(60°)
• Зная, что sin(60°) = √3/2, мы можем подставить это значение:
• h = (6√3) * (√3/2) = 6 * 3 / 2 = 9.

Шаг 2: Определение радиуса основания вписанного конуса

Теперь найдем радиус основания "r" вписанного конуса. Мы можем использовать косинус угла наклона:

• r = l * cos(угол наклона)
• Подставим значения: r = (6√3) * cos(60°)
• Зная, что cos(60°) = 1/2, мы можем подставить это значение:
• r = (6√3) * (1/2) = 3√3.

Шаг 3: Нахождение объема вписанного конуса

Теперь, когда мы знаем высоту и радиус основания вписанного конуса, можем вычислить его объем по формуле:

• V = (1/3) * π * r² * h
• Подставим значения: V = (1/3) * π * (3√3)² * 9
• Сначала найдем r²: (3√3)² = 27.
• Теперь подставим это значение в формулу: V = (1/3) * π * 27 * 9.
• Вычислим: V = (1/3) * π * 243 = 81π.

Таким образом, объем вписанного конуса равен 81π.