Чтобы найти объем конуса, вписанного в другой конус, необходимо сначала выяснить основные параметры внешнего конуса, такие как радиус основания и высота.

Дано:

• Образующая внешнего конуса (l) = 6√3
• Угол наклона образующей к плоскости основания (α) = 60 градусов

Шаг 1: Найдем высоту внешнего конуса (h) и радиус основания (R).

Используя тригонометрию, можем выразить высоту и радиус через образующую:

• h = l * cos(α) = 6√3 * cos(60°) = 6√3 * 0.5 = 3√3
• R = l * sin(α) = 6√3 * sin(60°) = 6√3 * (√3/2) = 9

Теперь у нас есть высота внешнего конуса (h = 3√3) и радиус основания (R = 9).

Шаг 2: Найдем объем внешнего конуса (V).

Формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * R² * h

Подставляем значения:

V = (1/3) * π * (9)² * (3√3) = (1/3) * π * 81 * 3√3 = 81√3π.

Шаг 3: Теперь найдем объем вписанного конуса. Вписанный конус будет подобен внешнему, и его размеры будут пропорциональны. Если высота внешнего конуса 3√3, то высота вписанного конуса будет равна h/2 = (3√3)/2. Радиус основания вписанного конуса будет равен R/2 = 9/2.

Шаг 4: Теперь найдем объем вписанного конуса (V_vpis). Используем ту же формулу:

V_vpis = (1/3) * π * (R/2)² * (h/2)

V_vpis = (1/3) * π * (9/2)² * (3√3/2) = (1/3) * π * (81/4) * (3√3/2)

V_vpis = (1/3) * π * (243√3/8) = 81√3π/8.

Таким образом, объем вписанного конуса равен 81√3π/8.