Какой объем конуса, вписанного в конус, если образующая конуса равна 6 корней из 3 и наклонена к плоскости основания конуса под углом 60 градусов?

Геометрия 10 класс Объем конуса объем конуса конус геометрия наклон образующая плоскость основания угол 60 градусов вписанный конус Новый

Чтобы найти объем конуса, вписанного в другой конус, необходимо сначала выяснить основные параметры внешнего конуса, такие как радиус основания и высота.

Дано:

• Образующая внешнего конуса (l) = 6√3
• Угол наклона образующей к плоскости основания (α) = 60 градусов

Шаг 1: Найдем высоту внешнего конуса (h) и радиус основания (R).

Используя тригонометрию, можем выразить высоту и радиус через образующую:

• h = l * cos(α) = 6√3 * cos(60°) = 6√3 * 0.5 = 3√3
• R = l * sin(α) = 6√3 * sin(60°) = 6√3 * (√3/2) = 9

Теперь у нас есть высота внешнего конуса (h = 3√3) и радиус основания (R = 9).

Шаг 2: Найдем объем внешнего конуса (V).

Формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * R² * h

Подставляем значения:

V = (1/3) * π * (9)² * (3√3) = (1/3) * π * 81 * 3√3 = 81√3π.

Шаг 3: Теперь найдем объем вписанного конуса. Вписанный конус будет подобен внешнему, и его размеры будут пропорциональны. Если высота внешнего конуса 3√3, то высота вписанного конуса будет равна h/2 = (3√3)/2. Радиус основания вписанного конуса будет равен R/2 = 9/2.

Шаг 4: Теперь найдем объем вписанного конуса (V_vpis). Используем ту же формулу:

V_vpis = (1/3) * π * (R/2)² * (h/2)

V_vpis = (1/3) * π * (9/2)² * (3√3/2) = (1/3) * π * (81/4) * (3√3/2)

V_vpis = (1/3) * π * (243√3/8) = 81√3π/8.

Таким образом, объем вписанного конуса равен 81√3π/8.