Медианы AA1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что AC=3MB. Какова сумма квадратов медиан AA1 и CC1, если AC=20? (Также известно, что треугольник является прямоугольным (угол В=90), а BB1=(AC/2)=10).

Геометрия 10 класс Медианы треугольника медианы треугольника сумма квадратов медиан треугольник ABC геометрия 10 класс прямоугольный треугольник AC=20 AC=3MB BB1=10 точка пересечения медиан свойства медиан треугольника Новый

Для начала давайте вспомним, что медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке М, которая называется центроидом треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что AC = 20. Также нам известно, что MB = 1/3 от AC, так как точка M делит каждую медиану в соотношении 2:1. Следовательно, мы можем найти MB:

• AC = 20
• MB = AC / 3 = 20 / 3 ≈ 6.67

Теперь, согласно условию, нам дано, что AC = 3MB. Подставим значение MB, чтобы проверить:

• 3MB = 3 * (20 / 3) = 20

Теперь мы можем найти длины медиан AA1 и CC1. Мы знаем, что BB1 = AC / 2 = 10.

Для нахождения медиан AA1 и CC1 в прямоугольном треугольнике ABC, мы используем формулу для длины медианы:

m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2),

где a и b – длины катетов, а c – длина стороны, к которой проведена медиана.

В нашем случае:

• AA1 – медиана, проведенная из вершины A к стороне BC.
• CC1 – медиана, проведенная из вершины C к стороне AB.

Однако, для нахождения суммы квадратов медиан AA1 и CC1, мы можем использовать следующее свойство:

Сумма квадратов медиан треугольника равна:

m1^2 + m2^2 + m3^2 = (a^2 + b^2 + c^2) / 3,

где m1, m2 и m3 – длины медиан, а a, b и c – длины сторон треугольника.

В нашем случае:

• AC = 20 (сторона c)
• AB = 10 (сторона b, так как BB1 = 10)
• BC = ? (сторона a, можно найти по теореме Пифагора)

Так как треугольник ACB прямоугольный, мы можем найти BC:

• BC = sqrt(AC^2 + AB^2) = sqrt(20^2 + 10^2) = sqrt(400 + 100) = sqrt(500) = 10 * sqrt(5).

Теперь подставим значения сторон в формулу для суммы квадратов медиан:

• a = 10 * sqrt(5)
• b = 10
• c = 20

Теперь вычислим:

• m1^2 + m2^2 + m3^2 = ( (10 * sqrt(5))^2 + 10^2 + 20^2 ) / 3
• = (500 + 100 + 400) / 3
• = 1000 / 3 ≈ 333.33.

Однако, нам нужна только сумма квадратов медиан AA1 и CC1:

Так как по свойству медиан:

• m1^2 + m2^2 = (a^2 + b^2 + c^2) / 3 - m3^2.

Зная, что m3 – это BB1, мы можем найти:

• m3^2 = (10)^2 = 100.

Теперь подставим:

• m1^2 + m2^2 = 1000 / 3 - 100 = (1000 - 300) / 3 = 700 / 3 ≈ 233.33.

Таким образом, сумма квадратов медиан AA1 и CC1 равна 700 / 3.