Помогите решить, пожалуйста! В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ=8√58 известно, что тангенс угла A равен 3/7. Как можно найти длину стороны АС?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник гипотенуза тангенс угла длина стороны решение задачи геометрия 10 класс треугольник ABC сторона AC математика угол A Новый

Давайте решим задачу по шагам.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым, мы знаем, что:

• Гипотенуза AB = 8√58.
• Тангенс угла A равен 3/7.

Тангенс угла A определяется как отношение противолежащей стороны (BC) к прилежащей стороне (AC):

tan(A) = BC / AC

Подставим известное значение:

3/7 = BC / AC

Отсюда можно выразить одну сторону через другую:

BC = (3/7) * AC

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника. По теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC²

Подставим известные значения и выражение для BC:

(8√58)² = AC² + ((3/7) * AC)²

Сначала вычислим квадрат гипотенузы:

(8√58)² = 64 * 58 = 3712

Теперь подставим это значение в уравнение:

3712 = AC² + (9/49) * AC²

Объединим подобные слагаемые:

3712 = AC² * (1 + 9/49)

Чтобы сложить дроби, приведем 1 к общему знаменателю:

1 = 49/49

Теперь сложим дроби:

1 + 9/49 = 49/49 + 9/49 = 58/49

Таким образом, у нас получается:

3712 = AC² * (58/49)

Теперь умножим обе стороны на 49/58, чтобы выразить AC²:

AC² = 3712 * (49/58)

Теперь посчитаем:

3712 / 58 = 64

(потому что 3712 = 64 * 58)

Теперь умножим на 49:

AC² = 64 * 49

Теперь найдем AC:

AC = √(64 * 49) = √64 * √49 = 8 * 7 = 56

Таким образом, длина стороны AC равна 56.

Ответ: Длина стороны AC = 56.