Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a, а точка P - это середина ребра D1C1. Какое расстояние от точек A1, A и C1 до плоскости BPD?

Геометрия 10 класс Расстояние от точки до плоскости расстояние до плоскости геометрия куба середина ребра точка P расстояние от точки плоскость BPD куб ABCDA1B1C1D1 Ребро куба координаты точек Новый

Для решения задачи нам необходимо найти расстояние от точек A1, A и C1 до плоскости BPD. Начнем с того, что определим координаты всех точек куба ABCDA1B1C1D1.

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)
• P(0, a, a/2) - середина ребра D1C1

Теперь найдем вектор BP и вектор BD, чтобы определить нормаль к плоскости BPD.

Вектор BP:

BP = P - B = (0, a, a/2) - (a, 0, 0) = (-a, a, a/2)

Вектор BD:

BD = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)

Теперь найдем векторное произведение BP и BD, чтобы получить нормальный вектор к плоскости BPD:

n = BP x BD

Вычислим это произведение:

• n = |i j k|
• | -a a a/2 |
• | -a a 0 |

Вычисляя детерминант, получаем:

• n = i(0 - a^2/2) - j(0 - a^2) + k(-a^2 + a^2) = (-a^2/2)i + a^2j + 0k

Таким образом, нормальный вектор n = (-a^2/2, a^2, 0).

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

Расстояние от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Для плоскости BPD, у нас есть A = -a^2/2, B = a^2, C = 0. Теперь найдем D. Мы можем взять любую точку, которая принадлежит плоскости, например, точку B(a, 0, 0):

D = -(-a^2/2 * a + a^2 * 0 + 0 * 0) = (a^3)/2.

Теперь мы можем найти расстояния от каждой из трех точек:

1. Расстояние от A1(0, 0, a):

d(A1) = |(-a^2/2)*0 + a^2*0 + 0*a + (a^3)/2| / sqrt((-a^2/2)^2 + (a^2)^2 + 0^2) = |(a^3)/2| / (sqrt(a^4/4 + a^4)) = a^3 / (sqrt(5a^4/4)) = 2a / sqrt(5).

2. Расстояние от A(0, 0, 0):

d(A) = |(-a^2/2)*0 + a^2*0 + 0*0 + (a^3)/2| / sqrt((-a^2/2)^2 + (a^2)^2 + 0^2) = |(a^3)/2| / (sqrt(5a^4/4)) = 2a / sqrt(5).

3. Расстояние от C1(a, a, a):

d(C1) = |(-a^2/2)*a + a^2*a + 0*a + (a^3)/2| / sqrt((-a^2/2)^2 + (a^2)^2 + 0^2) = |(-a^3/2 + a^3 + a^3/2)| / (sqrt(5a^4/4)) = |(2a^3)| / (sqrt(5a^4/4)) = 4a / sqrt(5).

Таким образом, расстояния от точек A1, A и C1 до плоскости BPD равны:

• Расстояние от A1: 2a / sqrt(5)
• Расстояние от A: 2a / sqrt(5)
• Расстояние от C1: 4a / sqrt(5)