Тангенс одного из острых углов прямоугольного треугольника составляет 3. Высота, проведенная к гипотенузе, равна 12. Какова площадь этого треугольника?

Геометрия 10 класс Площадь треугольника геометрия прямоугольный треугольник тангенс площадь треугольника высота к гипотенузе Новый

Ответ:

240.

Объяснение:

1. Дано, что тангенс одного из острых углов прямоугольного треугольника составляет 3. Это значит, что если обозначить острый угол как α, то tg(α) = 3. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, если обозначить противолежащий катет как СН, а прилежащий как НВ, то мы можем записать: СН / НВ = 3.
2. Из этого соотношения можно выразить НВ через СН. Поскольку тангенс равен 3, мы можем записать: СН = 3 * НВ. Теперь, если обозначить НВ как x, то СН = 3x.
3. Также известно, что высота, проведенная к гипотенузе, равна 12. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, может быть выражена через катеты. Мы знаем, что площадь треугольника можно выразить как половину произведения основания на высоту. В данном случае основанием будет гипотенуза, а высотой - 12.
4. Площадь треугольника также можно выразить через катеты: S = 1/2 * СН * НВ. Подставляя наши выражения, получаем: S = 1/2 * (3x) * x = 3/2 * x².
5. Теперь, используя формулу для высоты, мы можем найти гипотенузу. Площадь треугольника также равна 1/2 * (гипотенуза) * (высота). Поскольку высота = 12, мы можем записать: S = 1/2 * (гипотенуза) * 12.
6. Приравнивая оба выражения для площади, получаем: 3/2 * x² = 1/2 * (гипотенуза) * 12. Теперь нам нужно найти гипотенузу. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: гипотенуза = sqrt((СН)² + (НВ)²) = sqrt((3x)² + x²) = sqrt(9x² + x²) = sqrt(10x²) = x * sqrt(10).
7. Подставляем гипотенузу в уравнение: 3/2 * x² = 1/2 * (x * sqrt(10)) * 12. Упрощая, получаем: 3x² = 12x * sqrt(10), откуда x = 12 * sqrt(10) / 3 = 4 * sqrt(10).
8. Теперь подставим x обратно, чтобы найти площадь: S = 3/2 * (4 * sqrt(10))² = 3/2 * 16 * 10 = 240.

Таким образом, площадь данного треугольника равна 240.