Давайте последовательно решим каждую из задач, используя известные свойства треугольников и тригонометрию.

В треугольнике ABC у нас есть две стороны AB и BC, которые равны 6, и угол A равен 45 градусов. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, так как две стороны равны. Для нахождения угла BCA мы можем использовать теорему о сумме углов в треугольнике, которая гласит, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

1. Сначала запишем уравнение для суммы углов:
2. Угол A + Угол B + Угол C = 180 градусов.
3. Подставим известные значения: 45 + Угол B + Угол C = 180.
4. Так как угол B равен углу C (треугольник равнобедренный), обозначим угол B как x:
5. 45 + x + x = 180.
6. 2x = 180 - 45.
7. 2x = 135.
8. x = 67.5.

Таким образом, угол BCA равен 67.5 градуса.

Чтобы найти высоту, проведённую из вершины A, мы можем использовать тригонометрические функции. Высота AH образует прямой угол с основанием BC и делит его на две части. Обозначим точку D как основание высоты AH на стороне BC.

1. Сначала найдем длину отрезка BD, используя функцию косинуса:
2. cos(A) = AD / AB, где AD - это основание высоты AH.
3. cos(45) = AD / 6.
4. AD = 6 * cos(45) = 6 * (sqrt(2)/2) = 3 * sqrt(2).

Теперь найдем длину высоты AH, используя функцию синуса:

1. sin(A) = AH / AB.
2. sin(45) = AH / 6.
3. AH = 6 * sin(45) = 6 * (sqrt(2)/2) = 3 * sqrt(2).

Таким образом, высота, проведённая из вершины A, равна 3 * sqrt(2).

Площадь треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = 1/2 * основание * высота.

В нашем случае основание BC равно 6, а высота AH равна 3 * sqrt(2). Подставим значения в формулу:

1. Площадь = 1/2 * 6 * (3 * sqrt(2)) = 9 * sqrt(2).

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 9 * sqrt(2).

В итоге мы нашли:

• Угол BCA = 67.5 градуса;
• Высота AH = 3 * sqrt(2);
• Площадь треугольника = 9 * sqrt(2).