В прямоугольном треугольнике, в котором один из острых углов равен 75°, а длина гипотенузы составляет 10 см, каким образом можно вычислить расстояние от вершины прямого угла до прямой, проходящей через гипотенузу?

Геометрия 10 класс Треугольники прямоугольный треугольник острый угол 75° длина гипотенузы 10 см вычисление расстояния прямая через гипотенузу Новый

Чтобы найти расстояние от вершины прямого угла до прямой, проходящей через гипотенузу в прямоугольном треугольнике, нам нужно воспользоваться некоторыми тригонометрическими свойствами. Давайте разберем шаги по решению этой задачи.

1. Определим стороны треугольника:
   • Обозначим треугольник как ABC, где угол C - прямой угол.
   • Угол A равен 75°, а угол B, соответственно, равен 15° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).
   • Гипотенуза AB равна 10 см.
2. Найдем длины катетов:
   • Катет AC (противолежащий углу A) можно найти с помощью синуса:
   • AC = AB * sin(A) = 10 * sin(75°).
   • Катет BC (прилежащий к углу A) можно найти с помощью косинуса:
   • BC = AB * cos(A) = 10 * cos(75°).
3. Вычислим значения синуса и косинуса:
   • sin(75°) приблизительно равно 0.9659.
   • cos(75°) приблизительно равно 0.2588.
4. Подставим значения в формулы:
   • AC = 10 * 0.9659 ≈ 9.659 см.
   • BC = 10 * 0.2588 ≈ 2.588 см.
5. Найдем расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы:
   • Расстояние от точки C до прямой AB (гипотенузы) является высотой, проведенной из точки C на гипотенузу.
   • Эта высота можно найти, используя формулу для площади треугольника:
   • Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.
   • В нашем случае основание - это длина гипотенузы (10 см), а высота - искомое расстояние (h).
   • Также площадь треугольника можно вычислить через катеты: Площадь = 1/2 * AC * BC.
   • Таким образом, у нас есть два выражения для площади:
   • 1/2 * 10 * h = 1/2 * AC * BC.
   • Сократив 1/2, получаем: 10h = AC * BC.
   • Подставим значения AC и BC:
   • 10h = 9.659 * 2.588.
   • h = (9.659 * 2.588) / 10.
6. Вычислим h:
   • h ≈ 2.5 см.

Таким образом, расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы составляет примерно 2.5 см.