В равнобедренном треугольнике, где основание равно 6 см, а боковая сторона составляет 5 см, каким образом можно определить синус угла при вершине и радиус описанной окружности?

Геометрия 10 класс Треугольники равнобедренный треугольник синус угла радиус описанной окружности основание 6 см боковая сторона 5 см геометрия формулы треугольника Новый

Чтобы найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника и радиус описанной окружности, давайте сначала разберемся с самим треугольником.

Обозначим треугольник ABC, где AB = AC = 5 см (боковые стороны), а BC = 6 см (основание). Угол при вершине A мы обозначим как α.

1. **Найдем высоту треугольника**:

• Проведем высоту AD из вершины A на основание BC. Эта высота делит основание на две равные части: BD и DC, каждая из которых будет равна 3 см (половина от 6 см).
• Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABD, где AB = 5 см, BD = 3 см, и AD - высота, которую мы будем искать.
• По теореме Пифагора можем записать: AD^2 + BD^2 = AB^2.
• Подставим известные значения: AD^2 + 3^2 = 5^2.
• Это упростится до: AD^2 + 9 = 25.
• Следовательно, AD^2 = 16, и откуда AD = 4 см.

2. **Найдем синус угла при вершине A**:

• Синус угла α можно найти через отношение противолежащего катета (AD) к гипотенузе (AB):
• sin(α) = AD / AB = 4 / 5.
• Таким образом, sin(α) = 0.8.

3. **Найдем радиус описанной окружности**:

• Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле: R = (abc) / (4S), где a, b, c - стороны треугольника, а S - площадь треугольника.
• Сначала найдем площадь S. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить как: S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 6 * 4 = 12 см².
• Теперь подставим значения в формулу для радиуса:
• a = 6 см (основание), b = 5 см, c = 5 см (боковые стороны).
• Таким образом, R = (6 * 5 * 5) / (4 * 12) = 150 / 48 = 3.125 см.

Итак, мы нашли:

• Синус угла при вершине A: sin(α) = 0.8.
• Радиус описанной окружности: R = 3.125 см.