Похожие вопросы
2025-08-27 15:02:24
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что отношение BK к KM равно 4:1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Каково отношение площади треугольника BKP к площади треугольника ABK?
Геометрия 10 класс Отношение площадей треугольников геометрия треугольник ABC медиана BM точка K отношение BK к KM прямая AK сторона BC площадь треугольника BKP площадь треугольника ABK Новый
2025-08-27 15:02:33
Для решения этой задачи мы будем использовать свойства медиан и площади треугольников.
1. Определим отношение отрезков на медиане:
- Пусть точка K делит медиану BM в отношении 4:1. Это значит, что BK = 4x, а KM = x, где x - некоторая положительная величина.
- Таким образом, длина всей медианы BM равна BK + KM = 4x + x = 5x.
2. Найдём площадь треугольника ABK:
- Площадь треугольника ABK можно выразить через высоту, проведённую из точки A на сторону BK (или AB, в зависимости от выбора высоты).
- Обозначим высоту из точки A на сторону BK как h. Тогда площадь треугольника ABK будет равна:
- Площадь(ABK) = (1/2) * AB * h.
3. Теперь найдем площадь треугольника BKP:
- Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Поскольку K делит BM в отношении 4:1, то можно сказать, что точка P делит отрезок BK в том же отношении, поскольку высоты, проведенные из точки A на стороны BK и BC, будут параллельны.
- Таким образом, площадь треугольника BKP будет равна:
- Площадь(BKP) = (1/2) * BK * (h') = (1/2) * 4x * (h'), где h' - высота, проведенная из точки B на сторону AK.
- Поскольку P делит отрезок BK в том же отношении 4:1, то h' также будет пропорционально уменьшена в том же отношении.
4. Теперь найдем отношение площадей:
- Площадь(BKP) = (1/2) * 4x * (h/5) = (4/10) * (1/2) * AB * h = (4/10) * Площадь(ABK).
- Таким образом, отношение площадей треугольников BKP и ABK будет равно:
- Отношение(BKP к ABK) = Площадь(BKP) / Площадь(ABK) = (4/10) = 2/5.
Ответ: Отношение площади треугольника BKP к площади треугольника ABK равно 2:5.
