В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, косинус угла A составляет 4/5, а длина стороны BC равна 3. Какова длина стороны AB?

Геометрия 10 класс Треугольники и тригонометрия треугольник ABC угол C 90 градусов косинус угла A длина стороны BC длина стороны AB Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Это означает, что стороны AB, AC и BC связаны между собой с помощью тригонометрических функций.

Дано:

• Угол C = 90 градусов
• cos(A) = 4/5
• Длина стороны BC = 3

Так как угол C является прямым, мы можем использовать определение косинуса:

cos(A) = (длина прилежащей стороны к углу A) / (длина гипотенузы).

В нашем случае:

• Прилежащая сторона к углу A - это сторона AC.
• Гипотенуза - это сторона AB.

Согласно определению, мы можем записать:

cos(A) = AC / AB.

Подставим известное значение косинуса:

4/5 = AC / AB.

Теперь нам нужно выразить AC через AB:

AC = (4/5) * AB.

Теперь давайте рассмотрим сторону BC. В треугольнике ABC, по теореме Пифагора, мы знаем, что:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Подставим значение BC и выражение для AC:

AB^2 = ((4/5) * AB)^2 + 3^2.

Теперь упростим это уравнение:

AB^2 = (16/25) * AB^2 + 9.

Соберем все слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

AB^2 - (16/25) * AB^2 = 9.

Это можно переписать как:

(1 - 16/25) * AB^2 = 9.

Упрощаем:

(9/25) * AB^2 = 9.

Теперь умножим обе стороны на 25/9:

AB^2 = 25.

Теперь найдём длину стороны AB:

AB = √25 = 5.

Ответ: Длина стороны AB равна 5.