Чтобы найти длину стороны BC в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C составляет 90 градусов, высота AH равна 4, а отрезок CN равен 3, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и высоты, проведенной из вершины прямого угла.

Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Используем свойства прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. В данном случае высота AH делит гипотенузу AB на отрезки AN и NB.
2. Понимаем, что высота AH является средним геометрическим: Высота AH в прямоугольном треугольнике является средним геометрическим между отрезками, на которые она делит гипотенузу. Это значит, что AH^2 = AN * NB.
3. Используем информацию о CN: Поскольку CN = 3, мы знаем длину одного из катетов треугольника. В прямоугольном треугольнике катет и отрезок, на который высота делит гипотенузу, связаны следующим образом: CN^2 = AN * AC.
4. Находим AN и NB: Поскольку AH = 4, то AH^2 = 16. Это равно AN * NB. Мы знаем, что CN = 3, поэтому CN^2 = 9 = AN * AC.
5. Выразим NB через AN: Из уравнения AH^2 = AN * NB мы можем выразить NB = 16 / AN.
6. Составим систему уравнений: У нас есть два уравнения:
   • AN * NB = 16
   • AN * AC = 9
7. Решаем систему уравнений: Подставляем NB = 16 / AN во второе уравнение, чтобы найти AN:
   • AN * (16 / AN) = 16
   • AN = 3
8. Находим NB: Теперь, зная AN, мы можем найти NB:
   • NB = 16 / AN = 16 / 3
9. Находим длину стороны BC: Поскольку BC является гипотенузой в треугольнике ABC, и мы знаем, что AH^2 = AN * NB, то:
   • BC = AH + NB = 4 + 16 / 3
   • BC = 4 + 5.33 = 9.33 (округленно)

Таким образом, длина стороны BC составляет примерно 9.33 единиц.