В треугольнике АВС стороны АС и BC равны 2, а угол С составляет 150 градусов. Как можно найти высоту АН?

Геометрия 10 класс Треугольники высота треугольника треугольник АВС угол 150 градусов стороны треугольника геометрия треугольника методы нахождения высоты Новый

Для нахождения высоты АН в треугольнике ABC, где AC = 2, BC = 2 и угол C = 150 градусов, мы можем использовать несколько шагов. Давайте разберем процесс подробно.

Шаг 1: Найдем длину стороны AB.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая звучит следующим образом:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C),

где a и b — это длины сторон, а C — угол между ними. В нашем случае:

• a = AC = 2,
• b = BC = 2,
• C = 150 градусов.

Подставим значения в формулу:

AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(150°).

Значение cos(150°) равно -√3/2, поэтому:

AB² = 2² + 2² - 2 * 2 * 2 * (-√3/2).

Упростим выражение:

AB² = 4 + 4 + 4√3 = 8 + 4√3.

Таким образом, длина стороны AB равна:

AB = √(8 + 4√3).

Шаг 2: Найдем высоту АН.

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника, можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В качестве основания возьмем сторону BC, а высоту — АН. Площадь также можно найти через сторону AB и угол C:

Площадь = (1/2) * AB * AC * sin(C).

Мы знаем, что sin(150°) = 1/2, поэтому:

Площадь = (1/2) * AB * 2 * (1/2) = AB/2.

Теперь приравняем два выражения для площади:

(1/2) * BC * АН = AB/2.

Подставим BC = 2:

(1/2) * 2 * АН = AB/2.

Упростим:

АН = AB/2.

Шаг 3: Подставим значение AB.

Теперь мы можем подставить найденное значение AB:

АН = √(8 + 4√3) / 2.

Итак, высота АН в треугольнике ABC равна:

АН = √(8 + 4√3) / 2.

Таким образом, мы нашли высоту АН, используя теорему косинусов и формулы для площади треугольника. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!