Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1. длину стороны АВ;
2. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3. угол В в радианах с точностью до двух знаков;
4. уравнение высоты CD и ее длину;
5. уравнение медианы АМ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD.

А(–5; 7), В(7; –2), С(11; 20).

Геометрия 11 класс Аналитическая геометрия геометрия 11 класс координаты вершин треугольника длина стороны треугольника уравнение стороны треугольника угловой коэффициент угол в радианах высота треугольника уравнение высоты длина высоты медиана треугольника координаты точки пересечения треугольник ABC Новый

Давайте последовательно решим каждую из поставленных задач для треугольника ABC с заданными координатами вершин: A(-5, 7), B(7, -2), C(11, 20).

1. Длина стороны AB:

   Чтобы найти длину стороны AB, используем формулу расстояния между двумя точками:

   AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

   Подставляем координаты точек A и B:

   AB = √((7 - (-5))² + ((-2) - 7)²) = √(12² + (-9)²) = √(144 + 81) = √225 = 15

   Таким образом, длина стороны AB равна 15.

2. Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты:
   • Для стороны AB: найдем угловой коэффициент (k) и уравнение прямой.

   k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = ((-2) - 7) / (7 - (-5)) = -9 / 12 = -3/4

   Уравнение прямой: y - y1 = k(x - x1)

   Подставим точку A(-5, 7) и k = -3/4:

   y - 7 = -3/4(x + 5)

   Упростим: y = -3/4 x - 15/4 + 28/4 = -3/4 x + 13/4

   • Для стороны BC: аналогично найдем угловой коэффициент и уравнение.

   k_BC = (y3 - y2) / (x3 - x2) = (20 - (-2)) / (11 - 7) = 22 / 4 = 11/2

   Уравнение прямой: y - y2 = k(x - x2)

   Подставим точку B(7, -2) и k = 11/2:

   y + 2 = 11/2(x - 7)

   Упростим: y = 11/2 x - 77/2 - 4/2 = 11/2 x - 81/2

3. Угол B в радианах с точностью до двух знаков:

   Чтобы найти угол B, используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

   cos(B) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)

   Вектор AB = B - A = (7 - (-5), -2 - 7) = (12, -9)

   Вектор BC = C - B = (11 - 7, 20 - (-2)) = (4, 22)

   Скалярное произведение AB * BC = 12 * 4 + (-9) * 22 = 48 - 198 = -150

   |AB| = 15, |BC| = √(4² + 22²) = √(16 + 484) = √500 = 10√5

   cos(B) = -150 / (15 * 10√5) = -150 / (150√5) = -1/√5

   Чтобы найти угол в радианах, используем arccos(-1/√5). Это значение примерно равно 2.68 радиан.

4. Уравнение высоты CD и ее длина:

   Высота CD перпендикулярна стороне AB, значит, ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным k_AB, то есть 4/3.

   Уравнение прямой CD: y - y3 = 4/3(x - x3)

   Подставим точку C(11, 20):

   y - 20 = 4/3(x - 11)

   Упростим: y = 4/3 x - 44/3 + 60/3 = 4/3 x + 16/3

   Для нахождения длины высоты, используем формулу расстояния от точки до прямой.

   Расстояние от точки C до прямой AB: |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)

   Уравнение AB: -3/4 x + y - 13/4 = 0, значит A = -3/4, B = 1, C = -13/4

   Расстояние = |-3/4 * 11 + 1 * 20 - 13/4| / √((-3/4)² + 1²)

   Расстояние = |(-33/4) + 20 - 13/4| / √(9/16 + 16/16)

   Расстояние = |20 - 46/4| / √(25/16)

   Расстояние = |80/4 - 46/4| / (5/4) = |34/4| * 4/5 = 34/5

   Таким образом, длина высоты CD равна 6.8.

5. Уравнение медианы AM и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD:
   • Координаты середины стороны BC (точка M):

   M((7 + 11)/2, (-2 + 20)/2) = (9, 9)

   • Уравнение медианы AM:

   Угловой коэффициент AM = (9 - 7) / (9 - (-5)) = 2 / 14 = 1/7

   Уравнение медианы: y - 7 = 1/7(x + 5)

   Упростим: y = 1/7 x + 5/7 + 49/7 = 1/7 x + 54/7

   • Найдем точку пересечения K медианы AM и высоты CD:

   Решим систему уравнений:

   y = 1/7 x + 54/7

   y = 4/3 x + 16/3

   Приравняем правые части: 1/7 x + 54/7 = 4/3 x + 16/3

   Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

   3(1/7 x + 54/7) = 7(4/3 x + 16/3)

   3x/7 + 162/7 = 28x/3 + 112/3

   21x + 486 = 196x + 784

   196x - 21x = 784 - 486

   175x = 298

   x = 298/175

   Подставим x в уравнение медианы AM:

   y = 1/7 * (298/175) + 54/7

   y = 298/1225 + 54/7

   y = 54/7 + 298/1225

   Точка K имеет координаты (298/175, y).

Таким образом, мы нашли все необходимые величины и уравнения для треугольника ABC.