Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
А(–5; 7), В(7; –2), С(11; 20).
Геометрия 11 класс Аналитическая геометрия геометрия 11 класс координаты вершин треугольника длина стороны треугольника уравнение стороны треугольника угловой коэффициент угол в радианах высота треугольника уравнение высоты длина высоты медиана треугольника координаты точки пересечения треугольник ABC Новый
Давайте последовательно решим каждую из поставленных задач для треугольника ABC с заданными координатами вершин: A(-5, 7), B(7, -2), C(11, 20).
Чтобы найти длину стороны AB, используем формулу расстояния между двумя точками:
AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Подставляем координаты точек A и B:
AB = √((7 - (-5))² + ((-2) - 7)²) = √(12² + (-9)²) = √(144 + 81) = √225 = 15
Таким образом, длина стороны AB равна 15.
k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = ((-2) - 7) / (7 - (-5)) = -9 / 12 = -3/4
Уравнение прямой: y - y1 = k(x - x1)
Подставим точку A(-5, 7) и k = -3/4:
y - 7 = -3/4(x + 5)
Упростим: y = -3/4 x - 15/4 + 28/4 = -3/4 x + 13/4
k_BC = (y3 - y2) / (x3 - x2) = (20 - (-2)) / (11 - 7) = 22 / 4 = 11/2
Уравнение прямой: y - y2 = k(x - x2)
Подставим точку B(7, -2) и k = 11/2:
y + 2 = 11/2(x - 7)
Упростим: y = 11/2 x - 77/2 - 4/2 = 11/2 x - 81/2
Чтобы найти угол B, используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:
cos(B) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)
Вектор AB = B - A = (7 - (-5), -2 - 7) = (12, -9)
Вектор BC = C - B = (11 - 7, 20 - (-2)) = (4, 22)
Скалярное произведение AB * BC = 12 * 4 + (-9) * 22 = 48 - 198 = -150
|AB| = 15, |BC| = √(4² + 22²) = √(16 + 484) = √500 = 10√5
cos(B) = -150 / (15 * 10√5) = -150 / (150√5) = -1/√5
Чтобы найти угол в радианах, используем arccos(-1/√5). Это значение примерно равно 2.68 радиан.
Высота CD перпендикулярна стороне AB, значит, ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным k_AB, то есть 4/3.
Уравнение прямой CD: y - y3 = 4/3(x - x3)
Подставим точку C(11, 20):
y - 20 = 4/3(x - 11)
Упростим: y = 4/3 x - 44/3 + 60/3 = 4/3 x + 16/3
Для нахождения длины высоты, используем формулу расстояния от точки до прямой.
Расстояние от точки C до прямой AB: |Ax1 + By1 + C| / √(A² + B²)
Уравнение AB: -3/4 x + y - 13/4 = 0, значит A = -3/4, B = 1, C = -13/4
Расстояние = |-3/4 * 11 + 1 * 20 - 13/4| / √((-3/4)² + 1²)
Расстояние = |(-33/4) + 20 - 13/4| / √(9/16 + 16/16)
Расстояние = |20 - 46/4| / √(25/16)
Расстояние = |80/4 - 46/4| / (5/4) = |34/4| * 4/5 = 34/5
Таким образом, длина высоты CD равна 6.8.
M((7 + 11)/2, (-2 + 20)/2) = (9, 9)
Угловой коэффициент AM = (9 - 7) / (9 - (-5)) = 2 / 14 = 1/7
Уравнение медианы: y - 7 = 1/7(x + 5)
Упростим: y = 1/7 x + 5/7 + 49/7 = 1/7 x + 54/7
Решим систему уравнений:
y = 1/7 x + 54/7
y = 4/3 x + 16/3
Приравняем правые части: 1/7 x + 54/7 = 4/3 x + 16/3
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:
3(1/7 x + 54/7) = 7(4/3 x + 16/3)
3x/7 + 162/7 = 28x/3 + 112/3
21x + 486 = 196x + 784
196x - 21x = 784 - 486
175x = 298
x = 298/175
Подставим x в уравнение медианы AM:
y = 1/7 * (298/175) + 54/7
y = 298/1225 + 54/7
y = 54/7 + 298/1225
Точка K имеет координаты (298/175, y).
Таким образом, мы нашли все необходимые величины и уравнения для треугольника ABC.