Даны координаты вершин треугольника АВС. Постройте рисунок и найдите:

1. длину стороны АВ;
2. уравнение медианы ВМ;
3. уравнение высоты, проведенной из вершины С;
4. внутренний угол при вершине А.

Координаты вершин: A(1;4), B(0;-1), C(2;7).

Геометрия 11 класс Аналитическая геометрия длина стороны АВ уравнение медианы ВМ уравнение высоты С угол при вершине А Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом, начиная с построения треугольника ABC с заданными координатами вершин.

1. Построение треугольника ABC:

• Координаты точки A(1; 4)
• Координаты точки B(0; -1)
• Координаты точки C(2; 7)

На координатной плоскости отметим точки A, B и C и соединим их отрезками, чтобы получить треугольник ABC.

2. Найдем длину стороны AB:

Для нахождения длины отрезка AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

Длина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),

где (x1, y1) - координаты точки A, (x2, y2) - координаты точки B.

Подставим координаты:

• (x1, y1) = (1, 4)
• (x2, y2) = (0, -1)

Длина AB = √((0 - 1)² + (-1 - 4)²) = √((-1)² + (-5)²) = √(1 + 25) = √26.

3. Уравнение медианы BM:

Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка AC. Для этого используем формулу:

M(x, y) = ((xA + xC) / 2, (yA + yC) / 2).

Подставляем координаты A и C:

• xA = 1, yA = 4
• xC = 2, yC = 7

M = ((1 + 2) / 2, (4 + 7) / 2) = (3/2, 11/2).

Теперь найдем уравнение прямой BM. Сначала определим ее наклон:

k = (yM - yB) / (xM - xB) = ((11/2) - (-1)) / ((3/2) - 0) = (11/2 + 2/2) / (3/2) = (13/2) / (3/2) = 13/3.

Теперь у нас есть наклон, и мы можем использовать точку B для нахождения уравнения:

y - yB = k(x - xB) => y + 1 = (13/3)(x - 0) => y = (13/3)x - 1.

4. Уравнение высоты, проведенной из вершины C:

Для нахождения уравнения высоты из точки C, сначала найдем наклон стороны AB:

k_AB = (yB - yA) / (xB - xA) = (-1 - 4) / (0 - 1) = -5 / -1 = 5.

Наклон высоты, проведенной из C, будет равен -1/k_AB = -1/5.

Теперь используем точку C для нахождения уравнения высоты:

y - yC = k(x - xC) => y - 7 = (-1/5)(x - 2) => y - 7 = (-1/5)x + 2/5.

Упрощаем уравнение: y = (-1/5)x + 2/5 + 7 = (-1/5)x + 37/5.

5. Внутренний угол при вершине A:

Для нахождения угла A, воспользуемся формулами для нахождения углов через координаты. Сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB = (xB - xA, yB - yA) = (0 - 1, -1 - 4) = (-1, -5).
• Вектор AC = (xC - xA, yC - yA) = (2 - 1, 7 - 4) = (1, 3).

Теперь найдем угол между векторами AB и AC с помощью скалярного произведения:

cos(φ) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|),

где |AB| и |AC| - длины векторов. Сначала найдем длины:

• |AB| = √((-1)² + (-5)²) = √26.
• |AC| = √((1)² + (3)²) = √10.

Теперь найдем скалярное произведение:

AB * AC = (-1) * 1 + (-5) * 3 = -1 - 15 = -16.

Теперь подставим в формулу:

cos(φ) = -16 / (√26 * √10).

Теперь можем найти угол φ, используя обратную функцию косинуса.

Таким образом, мы нашли:

• Длину стороны AB: √26.
• Уравнение медианы BM: y = (13/3)x - 1.
• Уравнение высоты из C: y = (-1/5)x + 37/5.
• Внутренний угол при вершине A: cos(φ) = -16 / (√26 * √10).

Если у вас есть вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!