Как решить следующие задачи по геометрии:

1. Для треугольника ABC с координатами A(-1;-2), B(3;2), C(4;1) найти:
• а) уравнения всех сторон треугольника, высоты, медианы и биссектрисы, а также прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно противолежащей стороне;
• б) расстояние от вершины до противолежащей стороны;
• в) угол в треугольнике при вершине B.
2. Привести к каноническому виду уравнения кривых 2-го порядка и сделать схематический чертеж:
• а) x² + 4y² + 4x - 16y - 8 = 0;
• б) x² + 14x - y² + 4y + 9 = 0;
• в) 4x - y² + by - 13 = 0.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1 (1;3;4) и перпендикулярной плоскостям 2x + 3y + z - 1 = 0 и 3x - y + 22 - 2 = 0.

Пожалуйста, помогите. Мне через полчаса нужно сдать.

Геометрия 11 класс Аналитическая геометрия геометрия 11 класс треугольник ABC уравнения сторон треугольника высоты медианы биссектрисы расстояние до стороны треугольника угол в треугольнике B уравнения кривых 2-го порядка канонический вид уравнений схематический чертеж уравнение плоскости M1 Новый

Давайте разберем каждую задачу по порядку.

1. Для треугольника ABC с координатами A(-1;-2), B(3;2), C(4;1):

а) Найдем уравнения сторон треугольника:

• Сторона AB:
• Координаты A(-1, -2) и B(3, 2).
• Нахождение углового коэффициента: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - (-2)) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1.
• Уравнение: y - y1 = k(x - x1) => y + 2 = 1(x + 1) => y = x - 1.
• Сторона BC:
• Координаты B(3, 2) и C(4, 1).
• k = (1 - 2) / (4 - 3) = -1.
• Уравнение: y - 2 = -1(x - 3) => y = -x + 5.
• Сторона AC:
• Координаты A(-1, -2) и C(4, 1).
• k = (1 - (-2)) / (4 - (-1)) = 3 / 5.
• Уравнение: y + 2 = (3/5)(x + 1) => 5y + 10 = 3x + 3 => 3x - 5y - 7 = 0.

Теперь найдем высоты:

• Высота из A:
• Параллельна BC, угол наклона -1, значит, k = 1.
• Уравнение: y + 2 = 1(x + 1) => y = x - 1.
• Высота из B:
• Параллельна AC, k = -5/3.
• Уравнение: y - 2 = (-5/3)(x - 3) => 5x + 3y - 21 = 0.
• Высота из C:
• Параллельна AB, k = -1.
• Уравнение: y - 1 = -1(x - 4) => x + y - 5 = 0.

Теперь найдем медианы:

• Медиана из A к BC:
• Середина BC: M = ((3 + 4) / 2, (2 + 1) / 2) = (3.5, 1.5).
• Уравнение: y + 2 = (1.5 + 2) / (3.5 + 1) (x + 1) => 2x - 3y + 7 = 0.
• Медиана из B к AC:
• Середина AC: M = ((-1 + 4) / 2, (-2 + 1) / 2) = (1.5, -0.5).
• Уравнение: y - 2 = (-0.5 - 2) / (1.5 - 3) (x - 3) => 2x + y - 7 = 0.
• Медиана из C к AB:
• Середина AB: M = ((-1 + 3) / 2, (-2 + 2) / 2) = (1, 0).
• Уравнение: y - 1 = (0 - 1) / (1 - 4) (x - 4) => 3x + 4y - 16 = 0.

Теперь найдем биссектрисы:

• Биссектрисы можно найти, используя формулы, но это сложнее. Лучше воспользоваться свойством: угловой коэффициент биссектрисы равен среднему арифметическому угловых коэффициентов смежных сторон.

Прямая, проходящая через вершину A и параллельная стороне BC:

• Уравнение: y + 2 = -1(x + 1) => y = -x - 1.

б) Найдем расстояние от вершины B до стороны AC:

• Расстояние от точки до прямой: d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
• Для AC: 3x - 5y - 7 = 0, A = 3, B = -5, C = -7.
• Подставляем B(3, 2): d = |3*3 - 5*2 - 7| / sqrt(3^2 + (-5)^2) = |9 - 10 - 7| / sqrt(34) = 8 / sqrt(34).

в) Угол в треугольнике при вершине B:

• Используем формулу: cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac), где a, b, c - длины сторон.
• Длину сторон можно найти по формуле: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
• Сторона AB: 4, BC: sqrt(2), AC: sqrt(34).
• Подставляем в формулу и находим угол.

2. Привести к каноническому виду уравнения кривых 2-го порядка:

а) x² + 4y² + 4x - 16y - 8 = 0:

• Группируем: (x² + 4x) + (4y² - 16y) = 8.
• Завершим квадрат: (x + 2)² - 4 + 4(y - 2)² - 16 = 8.
• Получаем: (x + 2)² / 4 + (y - 2)² / 4 = 1, это эллипс.

б) x² + 14x - y² + 4y + 9 = 0:

• Группируем: (x² + 14x) - (y² - 4y) = -9.
• Завершим квадрат: (x + 7)² - 49 - (y - 2)² + 4 = -9.
• Получаем: (x + 7)² - (y - 2)² = 36, это гипербола.

в) 4x - y² + by - 13 = 0:

• Преобразуем: y² - by + 4x - 13 = 0.
• Это уравнение второго порядка относительно y, его можно привести к каноническому виду.

3. Уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1;3;4) и перпендикулярной плоскостям:

Для нахождения нормального вектора плоскости, перпендикулярной двум другим плоскостям, нужно найти векторное произведение их нормальных векторов.

• Нормальные векторы: N1(2, 3, 1) и N2(3, -1, 0).
• Находим векторное произведение: N = N1 x N2 = (3, -1, 0) x (2, 3, 1).
• Уравнение плоскости: 2(x - 1) + 3(y - 3) + 1(z - 4) = 0.

Надеюсь, это поможет вам с вашей работой. Удачи на сдаче!