Даны точки A(1;5;-2), B(2;0;0) и C(3;0;-4). Какой косинус угла образуют векторы AB и AC?

Геометрия 11 класс Векторы в пространстве косинус угла векторы AB и AC геометрия 11 класс точки A B C задачи по геометрии Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами AB и AC, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

• AB = B - A = (2 - 1; 0 - 5; 0 - (-2)) = (1; -5; 2).

Теперь найдем вектор AC:

• AC = C - A = (3 - 1; 0 - 5; -4 - (-2)) = (2; -5; -2).

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AB и AC.

Скалярное произведение двух векторов (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

AB · AC = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2.

Подставим наши значения:

• AB · AC = (1 * 2) + (-5 * -5) + (2 * -2) = 2 + 25 - 4 = 23.

Шаг 3: Найдем длины векторов AB и AC.

Длина вектора (x, y, z) вычисляется по формуле:

|AB| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2).

Для вектора AB:

• |AB| = sqrt(1^2 + (-5)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 25 + 4) = sqrt(30).

Для вектора AC:

• |AC| = sqrt(2^2 + (-5)^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 25 + 4) = sqrt(33).

Шаг 4: Найдем косинус угла между векторами AB и AC.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|).

Подставим наши значения:

• cos(θ) = 23 / (sqrt(30) * sqrt(33)).

Теперь можем оставить ответ в таком виде, или же, если требуется, вычислить численно:

• cos(θ) ≈ 23 / (5.477 * 5.745) ≈ 23 / 31.475 ≈ 0.731.

Таким образом, косинус угла между векторами AB и AC равен 23 / (sqrt(30) * sqrt(33)).