В правильном тетраэдре DABC с ребром 5√3, где N - середина ребра CB, какова длина вектора Da - DN? Запишите ответ числом.

Геометрия 11 класс Векторы в пространстве правильный тетраэдр геометрия 11 класс длина вектора середина ребра длина отрезка вектор DA вектор DN задача по геометрии координаты точек решение задач по геометрии Новый

Давайте разберем задачу по шагам, чтобы найти длину вектора Da - DN в правильном тетраэдре DABC.

1. Определим координаты вершин тетраэдра.
• Пусть вершина A находится в начале координат: A(0, 0, 0).
• Вершина B будет находиться на оси x: B(5√3, 0, 0).
• Вершина C будет находиться в плоскости xy. Так как треугольник ABC равносторонний с длиной стороны 5√3, координаты C будут: C(5√3/2, 5√3√3/2, 0) = C(5√3/2, 15/2, 0).
• Вершина D будет находиться в пространстве. Координаты D будут: D(5√3/2, 15/6, 5√3√2/3).
2. Найдем координаты точки N.
• Точка N - середина ребра CB. Координаты N находятся как среднее арифметическое координат точек C и B:
• N = ((5√3/2 + 5√3)/2, (15/2 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (15√3/4, 15/4, 0).
3. Вычислим вектор Da.
• Вектор Da = D - A = (5√3/2, 15/6, 5√3√2/3) - (0, 0, 0) = (5√3/2, 15/6, 5√3√2/3).
4. Вычислим вектор DN.
• Вектор DN = D - N = (5√3/2, 15/6, 5√3√2/3) - (15√3/4, 15/4, 0).
• Вычислим координаты: (5√3/2 - 15√3/4, 15/6 - 15/4, 5√3√2/3 - 0).
• Упростим: (5√3/4, -5/12, 5√3√2/3).
5. Найдем вектор Da - DN.
• Вектор Da - DN = (5√3/2, 15/6, 5√3√2/3) - (5√3/4, -5/12, 5√3√2/3).
• Координаты: (5√3/2 - 5√3/4, 15/6 + 5/12, 0).
• Упростим: (5√3/4, 35/12, 0).
6. Найдем длину вектора Da - DN.
• Длина вектора: √((5√3/4)^2 + (35/12)^2 + 0^2).
• Упростим: √((75/16) + (1225/144)).
• Общий знаменатель: √((675/144) + (1225/144)) = √(1900/144).
• Упростим: √(475/36) = √(25*19/36) = 5√19/6.

Таким образом, длина вектора Da - DN равна 5√19/6.