В правильном тетраэдре DABC с ребром 5√3, где точка N - это середина ребра CB, какова длина вектора DA - DN?

Геометрия 11 класс Векторы в пространстве геометрия 11 класс правильный тетраэдр DABC длина вектора середина ребра CB вектор DA вектор DN задачи по геометрии векторы в геометрии тетраэдр длина вектора в тетраэдре Новый

Чтобы найти длину вектора DA - DN в правильном тетраэдре DABC, где точка N - это середина ребра CB, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин тетраэдра. Поскольку тетраэдр правильный, его вершины могут быть расположены в пространстве следующим образом:
   • Вершина A: (0, 0, 0)
   • Вершина B: (5√3, 0, 0)
   • Вершина C: (5√3/2, 5√3*√3/2, 0) = (5√3/2, 15/2, 0)
   • Вершина D: (5√3/2, 5√3/6, 5√3*√2/√3) = (5√3/2, 5/2, 5√2)
2. Найдем координаты точки N. Поскольку N - это середина ребра CB, ее координаты будут средними между координатами точек C и B:
   • x_N = (5√3/2 + 5√3) / 2 = 15√3/4
   • y_N = (15/2 + 0) / 2 = 15/4
   • z_N = (0 + 0) / 2 = 0
   • Итак, N имеет координаты (15√3/4, 15/4, 0).
3. Найдем векторы DA и DN.
   • Вектор DA = A - D = (0 - 5√3/2, 0 - 5/2, 0 - 5√2) = (-5√3/2, -5/2, -5√2)
   • Вектор DN = N - D = (15√3/4 - 5√3/2, 15/4 - 5/2, 0 - 5√2)
   • Упростим DN:
     • x_DN = 15√3/4 - 10√3/4 = 5√3/4
     • y_DN = 15/4 - 10/4 = 5/4
     • z_DN = 0 - 5√2 = -5√2
     • DN = (5√3/4, 5/4, -5√2)
4. Найдем вектор DA - DN.
   • DA - DN = (-5√3/2 - 5√3/4, -5/2 - 5/4, -5√2 - (-5√2))
   • Упростим:
     • x = -10√3/4 - 5√3/4 = -15√3/4
     • y = -10/4 - 5/4 = -15/4
     • z = 0
     • DA - DN = (-15√3/4, -15/4, 0)
5. Найдем длину вектора DA - DN. Длина вектора (x, y, z) находится по формуле √(x² + y² + z²):
   • Длина = √((-15√3/4)² + (-15/4)² + 0²)
   • = √((225*3/16) + (225/16))
   • = √(675/16 + 225/16)
   • = √(900/16)
   • = √(56.25)
   • = 7.5

Таким образом, длина вектора DA - DN равна 7.5.