Если радиус шара равен 20 см, и через конец радиуса проходит плоскость под углом 30 градусов, то каков радиус полученного сечения?

Геометрия 11 класс Сечения геометрических тел радиус шара плоскость угол 30 градусов сечение шара геометрия 11 класс Новый

Для решения данной задачи нам нужно понять, как плоскость, проходящая через конец радиуса шара под углом 30 градусов, пересекает этот шар. На основе этой информации мы можем определить радиус полученного сечения.

Шар с радиусом 20 см имеет центр в точке O. Если мы проведем радиус OA длиной 20 см, то точка A будет находиться на поверхности шара. Плоскость, проходящая через точку A и образующая угол 30 градусов с радиусом OA, будет пересекать шар, создавая круговое сечение.

Теперь давайте разберемся с шагами для нахождения радиуса этого сечения:

1. Определим высоту от центра шара до плоскости:
   • Поскольку плоскость образует угол 30 градусов с радиусом, мы можем использовать тригонометрию для нахождения расстояния от центра шара до плоскости.
   • Высота h от центра шара до плоскости равна радиусу шара умноженному на косинус угла между радиусом и нормалью к плоскости: h = R * cos(30°), где R = 20 см.
   • Косинус 30 градусов равен √3/2, следовательно, h = 20 * (√3/2) = 10√3 см.
2. Найдем радиус сечения:
   • Теперь, зная высоту h, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса круга сечения r.
   • Согласно теореме Пифагора, r² + h² = R², где R - радиус шара.
   • Подставим известные значения: r² + (10√3)² = 20².
   • Это уравнение можно упростить: r² + 300 = 400.
   • Теперь решим его: r² = 400 - 300 = 100.
   • Следовательно, r = √100 = 10 см.

Ответ: Радиус полученного сечения равен 10 см.