Чтобы определить диаметр шара, начнем с анализа условия задачи. У нас есть шар, и плоскость проведена через конец его диаметра под углом 30 градусов к этому диаметру. Площадь сечения, образованного этой плоскостью, составляет 75π см².

Вот шаги, которые помогут нам решить эту задачу:

1. Понимание сечения шара: Когда плоскость пересекает шар, она образует круговое сечение. Площадь этого сечения равна площади круга с радиусом r, где r — радиус этого круга.
2. Формула площади круга: Площадь круга вычисляется по формуле S = πr². В нашем случае S = 75π, следовательно, πr² = 75π. Это позволяет нам упростить выражение до r² = 75, откуда r = √75.
3. Связь между радиусом сечения и диаметром шара: Поскольку плоскость пересекает шар под углом 30 градусов к диаметру, мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса шара. В этом случае радиус сечения r связан с радиусом шара R через косинус угла между диаметром и плоскостью: r = R * cos(30°).
4. Косинус угла 30 градусов: cos(30°) = √3/2. Подставим в уравнение: √75 = R * (√3/2).
5. Решение уравнения для R: Умножим обе стороны уравнения на 2/√3, чтобы выразить R:
   • R = (√75) * (2/√3) = (√75 * 2) / √3 = (5√3 * 2) / √3 = 10.
6. Нахождение диаметра шара: Диаметр шара D равен удвоенному радиусу, то есть D = 2R. Таким образом, D = 2 * 10 = 20 см.

Итак, диаметр шара равен 20 см.