Как можно определить сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро равно 10 см, а площадь боковой поверхности составляет 144 см в квадрате?

Геометрия 11 класс Правильные треугольные пирамиды правильная треугольная пирамида боковое ребро площадь боковой поверхности сторона основания апофема геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать данные о боковом ребре и площади боковой поверхности.

Давайте разберем шаги решения:

1. Определение площади боковой поверхности: Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех треугольников, каждый из которых является равнобедренным. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле:
• Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.
2. Обозначим сторону основания: Пусть сторона основания пирамиды равна a см. Тогда площадь одного бокового треугольника будет равна:
• Площадь треугольника = 1/2 * a * h,
3. Общая площадь боковой поверхности: Поскольку у нас три таких треугольника, общая площадь боковой поверхности будет:
• Площадь боковой поверхности = 3 * (1/2 * a * h) = (3/2) * a * h.
4. Уравнение для площади: Из условия задачи нам известно, что площадь боковой поверхности равна 144 см². Таким образом, мы можем записать уравнение:
• (3/2) * a * h = 144.
5. Найдем высоту бокового треугольника: Высота h может быть найдена через апофему (l) и сторону основания (a). В равнобедренном треугольнике, где боковые стороны равны боковым ребрам пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора:
• h = sqrt(l^2 - (a/2)^2).
6. Взаимосвязь между высотой и боковым ребром: У нас есть боковое ребро, равное 10 см, которое также является гипотенузой в прямом треугольнике, образованном высотой h и половиной стороны основания (a/2). Таким образом, мы можем записать:
• 10^2 = h^2 + (a/2)^2.
• 100 = h^2 + (a^2/4).
7. Система уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений:
• (3/2) * a * h = 144,
• 100 = h^2 + (a^2/4).
8. Решение системы: Мы можем выразить h из первого уравнения:
• h = 144 / (3/2 * a) = 96/a.
9. Подставим h во второе уравнение: Теперь подставим h в уравнение:
• 100 = (96/a)^2 + (a^2/4).
10. Упростим уравнение: Преобразуем его и найдем значение a:
• 100 = 9216/a^2 + (a^2/4).
• 100a^2 = 9216 + a^4/4.
• 400a^2 = 36864 + a^4.
• a^4 - 400a^2 + 36864 = 0.
11. Решение квадратного уравнения: Обозначим x = a^2. Получим квадратное уравнение:
• x^2 - 400x + 36864 = 0.
12. Найдем дискриминант: D = 400^2 - 4 * 36864 = 160000 - 147456 = 5444.
13. Решим уравнение: x = (400 ± sqrt(5444)) / 2. Найдем корни и затем a.
14. Находим апофему: После нахождения a, можем найти h и затем апофему l по формуле l = sqrt(10^2 - (a/2)^2).

Таким образом, следуя этим шагам, мы можем определить сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды.