В правильной треугольной пирамиде высота равна a√3, а радиус окружности, описанной вокруг её основания, составляет 2a. Как найти:

1. апофему пирамиды;
2. угол между боковой гранью и основанием;
3. площадь боковой поверхности.

Геометрия 11 класс Правильные треугольные пирамиды правильная треугольная пирамида высота пирамиды радиус окружности апофема пирамиды угол между гранью и основанием площадь боковой поверхности Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа правильной треугольной пирамиды. Давайте обозначим:

• h - высота пирамиды, h = a√3;
• R - радиус окружности, описанной вокруг основания, R = 2a;
• s - апофема пирамиды;
• α - угол между боковой гранью и основанием;
• Sб - площадь боковой поверхности.

Теперь по порядку найдем каждый из этих параметров.

1. Найдем апофему пирамиды.

Апофема пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания. В правильной треугольной пирамиде апофема может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. Мы знаем, что высота пирамиды h и радиус описанной окружности R образуют прямоугольный треугольник с апофемой s.

Сначала найдем длину стороны основания треугольника. Для правильного треугольника с радиусом окружности, описанной вокруг него, длина стороны a может быть найдена по формуле:

сторона = R * √3 = 2a * √3 = 2√3a.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:

1. Сначала найдем половину длины стороны основания: l = (2√3a) / 2 = √3a.
2. Теперь применяем теорему Пифагора: s² = h² + l².
3. Подставляем значения: s² = (a√3)² + (√3a)² = 3a² + 3a² = 6a².
4. Таким образом, s = √(6a²) = a√6.

2. Найдем угол между боковой гранью и основанием.

Угол α можно найти, используя тангенс угла между высотой и половиной стороны основания:

1. tan(α) = h / (l) = (a√3) / (√3a) = 1.
2. Следовательно, угол α = arctan(1) = 45°.

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

Sб = (периметр основания * апофема) / 2.

Периметр основания правильного треугольника с длиной стороны 2√3a равен:

1. Периметр = 3 * (2√3a) = 6√3a.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

1. Sб = (6√3a * a√6) / 2 = 3√18a² = 9a².

Таким образом, мы получили следующие результаты:

• Апофема пирамиды s = a√6;
• Угол между боковой гранью и основанием α = 45°;
• Площадь боковой поверхности Sб = 9a².