Как можно решить систему уравнений: Cos3x - cos7x = 0 и Sin3x + cos7x = 0? Помогите, пожалуйста (тригонометрия).

Геометрия 11 класс Тригонометрические уравнения система уравнений Тригонометрия cos3x cos7x sin3x решение уравнений математические задачи геометрия 11 класс помощь в решении угловые функции Новый

Для решения системы уравнений:

• Cos3x - cos7x = 0
• Sin3x + cos7x = 0

Начнем с первого уравнения:

1. Cos3x - cos7x = 0
2. Это уравнение можно переписать как:
3. Cos3x = cos7x
4. Согласно свойствам косинуса, если два косинуса равны, то:
5. 3x = 7x + 2kπ или 3x = -7x + 2kπ, где k - целое число.
6. Решим первое уравнение:
• 3x - 7x = 2kπ
• -4x = 2kπ
• x = -kπ/2
7. Теперь решим второе уравнение:
• 3x + 7x = 2kπ
• 10x = 2kπ
• x = kπ/5

Теперь у нас есть два выражения для x:

• x = -kπ/2
• x = kπ/5

Теперь мы можем приравнять эти два выражения:

1. -kπ/2 = kπ/5
2. Умножим обе стороны на -10:
3. 5kπ = -2kπ
4. 7kπ = 0
5. k = 0

Таким образом, подставляя k = 0 в одно из выражений для x, мы получаем:

• x = 0

Теперь проверим, подходит ли это значение для второго уравнения:

• Sin3(0) + cos7(0) = 0 + 1 = 1 (не подходит)

Теперь проверим, есть ли другие значения k, которые могут дать решение:

Попробуем использовать значения k = 1 и k = -1:

1. Для k = 1:
• x = -π/2 и x = π/5
2. Для k = -1:
• x = π/2 и x = -π/5

Теперь подставим эти значения в оба уравнения и проверим, выполняются ли они:

• Для x = -π/2:
• Cos(3*(-π/2)) - cos(7*(-π/2)) = 0
• Sin(3*(-π/2)) + cos(7*(-π/2)) = 0

Заключение: система уравнений имеет решения, которые можно выразить через целое число k:

• x = -kπ/2
• x = kπ/5

Таким образом, основное решение: x = 0, а также можно использовать значения, полученные для различных k, чтобы найти другие возможные решения.