Каковы решения уравнения sin^2 2x=1, которые находятся в пределах отрезка [π; 2π]?

Геометрия 11 класс Тригонометрические уравнения решения уравнения sin^2 2x=1 отрезок [π; 2π] геометрия 11 класс тригонометрические уравнения Новый

Решим уравнение sin²(2x) = 1.

Сначала заметим, что sin²(2x) = 1 означает, что sin(2x) = ±1. Это происходит, когда аргумент синуса равен (2n + 1)π/2, где n - целое число.

Таким образом, у нас есть два случая:

• sin(2x) = 1 при 2x = (2n + 1)π/2
• sin(2x) = -1 при 2x = (2n - 1)π/2

Теперь решим каждый из этих случаев отдельно.

1. Решение для sin(2x) = 1:

Для первого случая имеем:

• 2x = (2n + 1)π/2
• x = (2n + 1)π/4

Теперь найдем значения x в пределах отрезка [π; 2π]:

• Для n = 1: x = (2*1 + 1)π/4 = 3π/4 (не подходит, т.к. меньше π)
• Для n = 2: x = (2*2 + 1)π/4 = 5π/4 (подходит)
• Для n = 3: x = (2*3 + 1)π/4 = 7π/4 (подходит)
• Для n = 4: x = (2*4 + 1)π/4 = 9π/4 (не подходит, т.к. больше 2π)

Таким образом, для первого случая мы получили решения: x = 5π/4 и x = 7π/4.

2. Решение для sin(2x) = -1:

Теперь рассмотрим второй случай:

• 2x = (2n - 1)π/2
• x = (2n - 1)π/4

Найдем значения x в пределах отрезка [π; 2π]:

• Для n = 1: x = (2*1 - 1)π/4 = π/4 (не подходит, т.к. меньше π)
• Для n = 2: x = (2*2 - 1)π/4 = 3π/4 (не подходит, т.к. меньше π)
• Для n = 3: x = (2*3 - 1)π/4 = 5π/4 (подходит)
• Для n = 4: x = (2*4 - 1)π/4 = 7π/4 (подходит)
• Для n = 5: x = (2*5 - 1)π/4 = 9π/4 (не подходит, т.к. больше 2π)

Таким образом, для второго случая мы также получаем решения: x = 5π/4 и x = 7π/4.

Итог: Все решения уравнения sin²(2x) = 1 в пределах отрезка [π; 2π]:

• x = 5π/4
• x = 7π/4