Как можно упростить следующие выражения:

1. 1 - sin⁴α - sin²α · cos²α
2. ctg²α (2sin²α + cos²α - 1)
3. tg²α - sin²α · tg²α

Геометрия 11 класс Тригонометрические функции и их свойства упрощение выражений геометрия 11 класс тригонометрические функции синус и косинус ctg и tg задачи по тригонометрии Новый

Давайте упростим каждое из этих выражений по шагам.

1. Упрощение выражения: 1 - sin⁴α - sin²α · cos²α

1. Начнем с первого выражения: 1 - sin⁴α - sin²α · cos²α.
2. Обратите внимание, что sin²α + cos²α = 1. Мы можем выразить cos²α как 1 - sin²α.
3. Подставим это в выражение:
4. 1 - sin⁴α - sin²α · (1 - sin²α).
5. Упростим: 1 - sin⁴α - sin²α + sin⁴α = 1 - sin²α.
6. Таким образом, первое выражение упрощается до: 1 - sin²α = cos²α.

2. Упрощение выражения: ctg²α (2sin²α + cos²α - 1)

1. Рассмотрим второе выражение: ctg²α (2sin²α + cos²α - 1).
2. Здесь также используем соотношение sin²α + cos²α = 1, чтобы выразить cos²α:
3. cos²α = 1 - sin²α, следовательно, 2sin²α + (1 - sin²α) - 1 = 2sin²α - sin²α = sin²α.
4. Теперь подставим это в выражение:
5. ctg²α · sin²α.
6. Так как ctg²α = cos²α / sin²α, получаем: (cos²α / sin²α) · sin²α = cos²α.
7. Таким образом, второе выражение упрощается до: cos²α.

3. Упрощение выражения: tg²α - sin²α · tg²α

1. Теперь рассмотрим третье выражение: tg²α - sin²α · tg²α.
2. Вынесем tg²α за скобки:
3. tg²α (1 - sin²α).
4. Используем соотношение 1 - sin²α = cos²α:
5. Получаем: tg²α · cos²α.
6. Так как tg²α = sin²α / cos²α, подставим это в выражение:
7. sin²α / cos²α · cos²α = sin²α.
8. Таким образом, третье выражение упрощается до: sin²α.

В итоге мы получили следующие упрощенные выражения:

• 1 - sin⁴α - sin²α · cos²α = cos²α;
• ctg²α (2sin²α + cos²α - 1) = cos²α;
• tg²α - sin²α · tg²α = sin²α.