Помогите пожалуйста упростить следующие выражения:

1. 1 - sin²a;
2. 1 - cos²a;
3. (1 - cos a)(1 + cos a);
4. 1 + sin²a + cos a;
5. sin a - sin a cos² a;
6. cos 45° tg 45°;
7. sin 85° tg 5°;
8. 1 - sin 18° cos 72°;

Геометрия 11 класс Тригонометрические функции и их свойства упрощение выражений геометрия 11 класс тригонометрические функции формулы тригонометрии математические выражения Новый

Ответ:

Давайте упростим каждое из выражений по очереди.

1. 1 - sin²a:

   Это выражение можно упростить, используя основное тригонометрическое тождество: sin²a + cos²a = 1. Из этого следует, что 1 - sin²a = cos²a. Таким образом, упрощенное выражение: cos²a.

2. 1 - cos²a:

   Аналогично, используя то же тригонометрическое тождество, мы получаем: 1 - cos²a = sin²a. Следовательно, упрощенное выражение: sin²a.

3. (1 - cos a)(1 + cos a):

   Это выражение можно упростить с помощью формулы разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b². Здесь a = 1 и b = cos a. Таким образом, мы получаем: 1² - (cos a)² = 1 - cos²a, что, согласно предыдущему пункту, равно sin²a.

4. 1 + sin²a + cos a:

   Мы знаем, что sin²a + cos²a = 1. Поэтому можно заменить sin²a на 1 - cos²a: 1 + (1 - cos²a) + cos a = 2 - cos²a + cos a. Это выражение не упрощается дальше, поэтому оставим его как 2 - cos²a + cos a.

5. sin a - sin a cos² a:

   Здесь можно вынести sin a за скобки: sin a(1 - cos² a). Мы уже упростили 1 - cos² a до sin² a, поэтому получаем: sin a * sin² a = sin³ a. Таким образом, упрощенное выражение: sin³ a.

6. cos 45° tg 45°:

   Значения углов 45° известны: cos 45° = √2/2 и tg 45° = 1. Умножая эти значения, получаем: (√2/2) * 1 = √2/2. Таким образом, упрощенное выражение: √2/2.

7. sin 85° tg 5°:

   Здесь мы можем использовать известные значения: sin 85° = cos 5° (так как 85° = 90° - 5°). Значение tg 5° остается как есть. Поэтому получаем: cos 5° * tg 5°. Это выражение не упрощается дальше, так что оставим его в таком виде: cos 5° * tg 5°.

8. 1 - sin 18° cos 72°:

   Здесь можно использовать тригонометрические тождества. Мы знаем, что cos 72° = sin 18°. Таким образом, выражение можно переписать: 1 - sin 18° * sin 18° = 1 - sin² 18°. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: 1 - sin² 18° = cos² 18°. Поэтому упрощенное выражение: cos² 18°.

Таким образом, мы упростили все выражения, используя основные тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!