Как можно упростить выражение: ctga * sina / (1 + tg2a)?

Геометрия 11 класс Тригонометрические функции и их свойства Упрощение выражения геометрия 11 класс ctga sina tg²a тригонометрические функции Новый

Чтобы упростить выражение ctga * sina / (1 + tg2a), давайте разобьем его на несколько шагов.

1. Сначала вспомним, что ctg(a) (котангенс) и tg(a) (тангенс) связаны между собой следующим образом:

   • ctg(a) = 1 / tg(a)

2. Теперь заменим ctga в нашем выражении:

   • ctga = 1 / tg(a)

   Таким образом, выражение становится:

   (1 / tg(a)) * sina / (1 + tg2a)

3. Теперь вспомним, что tg^2(a) = (tg(a))^2. Следовательно, 1 + tg^2(a) = 1 + (sina / cosa)^2. Это можно переписать как:

   • 1 + tg^2(a) = (cosa^2 + sina^2) / cosa^2 = 1 / cosa^2 (по теореме Пифагора).

4. Теперь подставим это в знаменатель:

   (1 / tg(a)) * sina / (1 / cosa^2)

5. Упростим это выражение:

   (1 / tg(a)) * sina * cosa^2

6. Так как tg(a) = sina / cosa, мы можем подставить это значение:

   (1 / (sina / cosa)) * sina * cosa^2 = (cosa / sina) * sina * cosa^2

7. Теперь сокращаем sina:

   cosa * cosa^2 = cosa^3

Таким образом, мы упростили данное выражение до:

cosa^3

Итак, окончательный ответ:

cosa^3