Как можно вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды, если боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов, а длина бокового ребра составляет 10 см?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды боковые ребра угол наклона длина бокового ребра геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае основание является квадратом, так как это правильная четырехугольная пирамида, и боковые ребра наклонены под углом 60 градусов.

Следуем этим шагам для решения задачи:

1. Найдем высоту пирамиды. Для этого используем треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и половиной стороны основания. Поскольку боковые ребра наклонены под углом 60 градусов, мы можем использовать тригонометрию.
2. Обозначим:
   • h - высота пирамиды,
   • s - половина длины стороны основания.
   • l = 10 см - длина бокового ребра.
3. Используем соотношение: В прямоугольном треугольнике, где одно из острых углов 60 градусов, мы можем записать:
   • cos(60°) = s / l,
   • sin(60°) = h / l.
4. Находим высоту:
   • cos(60°) = 0.5, следовательно, s = l * cos(60°) = 10 * 0.5 = 5 см.
   • sin(60°) = √3/2, следовательно, h = l * sin(60°) = 10 * (√3/2) = 5√3 см.
5. Найдем площадь основания: Поскольку основание является квадратом со стороной 2s, то площадь основания A равна:
   • A = (2s)² = (2 * 5)² = 10² = 100 см².
6. Вычислим объем пирамиды: Объем V можно найти по формуле:
   • V = (1/3) * A * h.
7. Подставляем значения:
   • V = (1/3) * 100 * 5√3 = (500√3) / 3 см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет (500√3) / 3 см³.