Какой объем имеет правильная четырехугольная пирамида, если радиус вписанной в нее сферы равен 3 см, а длина диагонали основания составляет 12√2 см?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды радиус вписанной сферы длина диагонали основания геометрия 11 класс задачи по геометрии формулы для объема пирамиды Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае, у нас есть радиус вписанной сферы и длина диагонали основания.

Шаг 1: Найдем сторону основания

Поскольку основание пирамиды является квадратом, длина его диагонали D связана со стороной a квадрата следующим образом:

D = a√2

У нас есть длина диагонали D = 12√2 см. Подставляем это значение в формулу:

12√2 = a√2

Теперь делим обе стороны на √2:

a = 12 см

Шаг 2: Найдем площадь основания

Площадь основания S квадрата вычисляется по формуле:

S = a²

Подставляем найденное значение стороны:

S = 12² = 144 см²

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды

Для нахождения высоты пирамиды h, мы можем использовать радиус вписанной сферы r и формулу:

r = S / (3h)

Где S - площадь основания, а h - высота пирамиды. Подставляем известные значения:

3 = 144 / (3h)

Упрощаем это уравнение:

3h = 144 / 3

3h = 48

h = 48 / 3 = 16 см

Шаг 4: Найдем объем пирамиды

Объем V правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) * S * h

Теперь подставим найденные значения:

V = (1/3) * 144 * 16

V = (1/3) * 2304

V = 768 см³

Ответ: Объем правильной четырехугольной пирамиды составляет 768 см³.