Какой объем у правильной четырехугольной пирамиды, если длина диагонали её основания равна d, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом a?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды длина диагонали основания боковое ребро наклон угол наклона пирамиды геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае основание является квадратом, так как это правильная четырехугольная пирамида.

Начнем с того, что если длина диагонали основания равна d, то мы можем найти сторону основания (сторону квадрата). Длина диагонали квадрата связана со стороной через формулу:

d = a * √2

где a - длина стороны квадрата. Отсюда мы можем выразить сторону:

a = d / √2

Теперь, чтобы найти площадь основания (S), используем формулу для площади квадрата:

S = a²

Подставим значение a:

S = (d / √2)² = d² / 2

Теперь нам нужна высота пирамиды (h). Высота может быть найдена через боковое ребро и угол наклона a. Боковое ребро (l) образует прямоугольный треугольник с высотой и половиной диагонали основания.

Половина диагонали квадрата равна:

h = (d / 2) / √2 = d / (2√2)

Теперь мы можем выразить высоту через боковое ребро и угол наклона. Высота будет равна:

h = l * sin(a)

Теперь, чтобы найти объем (V) пирамиды, используем формулу:

V = (1/3) S h

Подставляем найденные значения:

V = (1/3) (d² / 2) (l * sin(a))

Таким образом, если подставить все известные значения, мы получим объем правильной четырехугольной пирамиды:

V = (d² l sin(a)) / 6

В итоге, объем правильной четырехугольной пирамиды с заданными параметрами равен (d² * l * sin(a)) / 6.