Чтобы вычислить объем усеченного конуса, нужно знать его высоту, радиусы оснований и применить формулу объема усеченного конуса. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Понимание задачи:

   У нас есть усеченный конус с известной длиной образующей (15 см) и площадью боковой поверхности (405 см²). Также известно, что высота усеченного конуса в два раза меньше высоты полного конуса. Нам нужно найти объем усеченного конуса.

2. Формула боковой поверхности усеченного конуса:

   Боковая поверхность усеченного конуса находится по формуле:

   S = π * l * (R + r),

   где S — площадь боковой поверхности, l — длина образующей, R — радиус большего основания, r — радиус меньшего основания.

   Подставляем известные значения:

   405 = π * 15 * (R + r).

   Отсюда:

   R + r = 405 / (15 * π) = 405 / 47.1 ≈ 8.6.

3. Высота усеченного конуса:

   Поскольку высота усеченного конуса в два раза меньше высоты полного конуса, и зная, что образующая полного конуса составляет 15 см, мы можем выразить высоту полного конуса как h = √(l² - R²), где R — радиус большего основания.

   Высота усеченного конуса будет h/2.

4. Формула объема усеченного конуса:

   Объем усеченного конуса находится по формуле:

   V = (1/3) * π * h * (R² + R*r + r²),

   где h — высота усеченного конуса.

5. Решение:

   Чтобы найти объем, нужно выразить радиусы R и r через известные величины. Это можно сделать, если учесть, что:

   R + r = 8.6.

   Итак, мы можем выразить R и r, зная их сумму, но без дополнительных данных или уравнений это невозможно сделать однозначно.

   Если бы мы знали еще одно соотношение между R и r, например, разность радиусов, то смогли бы найти их значения и затем высчитать объем.

Таким образом, для окончательного решения задачи требуется дополнительная информация о радиусах оснований. Если она будет предоставлена, можно будет завершить расчет объема усеченного конуса. Если у вас есть дополнительная информация, пожалуйста, сообщите, и мы продолжим решение задачи.