Вопрос: Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 см и 7 см, а образующая - 5 см. Найдите площадь осевого сечения, площадь полной поверхности и объем усеченного конуса.

Геометрия 11 класс Усеченный конус усеченный конус радиусы оснований образующая площадь осевого сечения площадь полной поверхности объём усечённого конуса геометрия 11 класс задачи по геометрии формулы усеченного конуса решение задач по геометрии Новый

Давайте рассмотрим задачу по нахождению площади осевого сечения, площади полной поверхности и объема усеченного конуса, у которого радиусы оснований равны 3 см и 7 см, а образующая – 5 см.

1. Нахождение площади осевого сечения.

   Для начала, чтобы найти площадь осевого сечения, мы можем представить его в виде трапеции, где:

   • верхнее основание равно диаметру верхнего основания усеченного конуса (2 * 3 см = 6 см),
   • нижнее основание равно диаметру нижнего основания усеченного конуса (2 * 7 см = 14 см).

   Теперь нам нужна высота трапеции. Мы можем найти ее с помощью теоремы Пифагора. Образующая (5 см) является гипотенузой, а разница радиусов оснований (7 см - 3 см = 4 см) является одним из катетов. Другой катет (высота трапеции) можно найти следующим образом:

   h = √(5² - 2²) = √(25 - 4) = √21 ≈ 4.58 см.

   Теперь, зная основания и высоту, мы можем найти площадь S осевого сечения по формуле площади трапеции:

   S = (верхнее основание + нижнее основание) / 2 * высота = (6 см + 14 см) / 2 * 4.58 см = 30 см².

2. Нахождение площади полной поверхности.

   Площадь полной поверхности усеченного конуса включает в себя площади оснований и боковую поверхность. Площадь боковой поверхности Sб можно найти по формуле:

   Sб = π(R1 + R2) * l,

   где R1 и R2 – радиусы оснований, а l – образующая. Подставим значения:

   Sб = π(3 см + 7 см) * 5 см = π * 10 см * 5 см = 50π см².

   Теперь найдем площади оснований:

   • Площадь верхнего основания: S1 = π * (3 см)² = 9π см².
   • Площадь нижнего основания: S2 = π * (7 см)² = 49π см².

   Теперь можем найти площадь полной поверхности Sп:

   Sп = S1 + S2 + Sб = 9π см² + 49π см² + 50π см² = 108π см².

3. Нахождение объема усеченного конуса.

   Для нахождения объема V усеченного конуса используем формулу:

   V = (1/3) * π * h * (R1² + R1 * R2 + R2²),

   где h – высота, которую мы уже нашли, равной 4.58 см. Подставим известные значения:

   V = (1/3) * π * 4.58 см * (3² + 3 * 7 + 7²) = (1/3) * π * 4.58 см * (9 + 21 + 49) = (1/3) * π * 4.58 см * 79 ≈ 120.84π см³.

Таким образом, мы нашли:

• Площадь осевого сечения: 30 см²;
• Площадь полной поверхности: 108π см²;
• Объем усеченного конуса: 120.84π см³.