Как найти площадь полной поверхности и объем усеченного конуса, если он образован вращением прямоугольной трапеции с основаниями 9 и 14 см вокруг меньшей боковой стороны, равной 12 см?

Геометрия 11 класс Усеченный конус площадь полной поверхности объём усечённого конуса вращение трапеции геометрия 11 класс усеченный конус задачи по геометрии формулы для усеченного конуса Новый

Для нахождения площади полной поверхности и объема усеченного конуса, образованного вращением прямоугольной трапеции, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определим параметры усеченного конуса:

• Основание 1 (большее) – 14 см.
• Основание 2 (меньшее) – 9 см.
• Высота (боковая сторона) – 12 см.

2. Найдем радиусы оснований:

• Радиус большего основания (R) = 14 см / 2 = 7 см.
• Радиус меньшего основания (r) = 9 см / 2 = 4.5 см.

3. Найдем объем усеченного конуса:

Формула для объема усеченного конуса выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * h * (R² + R * r + r²),

где:

• V – объем усеченного конуса,
• h – высота (12 см),
• R – радиус большего основания (7 см),
• r – радиус меньшего основания (4.5 см).

Подставляем значения:

V = (1/3) * π * 12 * (7² + 7 * 4.5 + 4.5²)

V = (1/3) * π * 12 * (49 + 31.5 + 20.25)

V = (1/3) * π * 12 * 100.75

V = 402.98 * π ≈ 1267.96 см³ (если π ≈ 3.14).

4. Найдем площадь полной поверхности усеченного конуса:

Площадь полной поверхности усеченного конуса рассчитывается по формуле:

S = π(R + r) * l + πR² + πr²,

где:

• S – площадь полной поверхности,
• l – образующая, которую можно найти по теореме Пифагора: l = √(h² + (R - r)²).

Сначала найдем l:

l = √(12² + (7 - 4.5)²) = √(144 + 2.5²) = √(144 + 6.25) = √150.25 ≈ 12.25 см.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

S = π(7 + 4.5) * 12.25 + π * 7² + π * 4.5²

S = π * 11.5 * 12.25 + π * 49 + π * 20.25

S = π * (140.875 + 49 + 20.25) = π * 210.125.

Таким образом, S ≈ 659.73 см² (если π ≈ 3.14).

Итак, в итоге:

• Объем усеченного конуса ≈ 1267.96 см³.
• Площадь полной поверхности ≈ 659.73 см².