Какой радиус основания усеченного конуса, если высота конуса составляет 4 см, радиус одного основания в два раза больше радиуса другого, а сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности?

Геометрия 11 класс Усеченный конус усеченный конус радиус основания высота конуса площадь боковой поверхности геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи начнем с обозначения радиусов оснований усеченного конуса. Пусть радиус меньшего основания равен r, тогда радиус большего основания будет равен 2r, так как сказано, что он в два раза больше.

Теперь найдем площади оснований:

• Площадь меньшего основания (S1) = π * r^2
• Площадь большего основания (S2) = π * (2r)^2 = π * 4r^2

Теперь найдем сумму площадей оснований:

S1 + S2 = π * r^2 + π * 4r^2 = π * (1 + 4) * r^2 = 5π * r^2

Следующим шагом найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса:

Sбок = π * (R + r) * l,

где R - радиус большего основания, r - радиус меньшего основания, l - образующая усеченного конуса.

Образующая l может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. В нашем случае высота h = 4 см, а разность радиусов оснований равна R - r = 2r - r = r. Таким образом, мы можем записать:

l = √(h^2 + (R - r)^2) = √(4^2 + r^2) = √(16 + r^2).

Теперь подставим значения R и r в формулу для площади боковой поверхности:

Sбок = π * (2r + r) * √(16 + r^2) = 3π * r * √(16 + r^2).

По условию задачи сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности:

5π * r^2 = 3π * r * √(16 + r^2).

Теперь упростим уравнение, разделив обе стороны на π (при условии, что π не равно 0):

5r^2 = 3r * √(16 + r^2).

Если r не равно 0, можно разделить обе стороны на r:

5r = 3 * √(16 + r^2).

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(5r)^2 = (3 * √(16 + r^2))^2.

25r^2 = 9(16 + r^2).

Раскроем скобки:

25r^2 = 144 + 9r^2.

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

25r^2 - 9r^2 - 144 = 0.

16r^2 - 144 = 0.

Теперь решим это уравнение:

16r^2 = 144.

r^2 = 144 / 16 = 9.

r = 3 см (положительное значение, так как радиус не может быть отрицательным).

Теперь найдем радиус большего основания:

R = 2r = 2 * 3 = 6 см.

Таким образом, радиус меньшего основания равен 3 см, а радиус большего основания равен 6 см.

Ответ: Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 3 см, радиус большего основания равен 6 см.