Как можно вычислить площадь основания правильной треугольной пирамиды, если высота пирамиды равна 12 см, а все двугранные углы при основании составляют 30°?

Геометрия 11 класс Правильные треугольные пирамиды площадь основания правильная треугольная пирамида высота пирамиды двугранные углы геометрия 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь основания правильной треугольной пирамиды, нам нужно сначала найти длину стороны основания, а затем использовать эту длину для вычисления площади треугольника.

Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом:

1. Определим высоту и двугранные углы. У нас есть высота пирамиды, равная 12 см, и двугранные углы при основании равны 30°. Это означает, что угол между высотой и линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания, составляет 30°.
2. Найдем длину отрезка от вершины пирамиды до центра основания. Обозначим этот отрезок как "h" (гипотенуза). Мы можем использовать тригонометрию для этого. В прямоугольном треугольнике, где высота 12 см является противолежащей стороной, а "h" — гипотенузой, мы можем записать:
   • sin(30°) = противолежащая сторона / гипотенуза
   • sin(30°) = 12 / h

   Поскольку sin(30°) = 1/2, подставим это в уравнение:

   • 1/2 = 12 / h
   • h = 12 * 2 = 24 см
3. Теперь найдем радиус описанной окружности основания. В правильной треугольной пирамиде радиус описанной окружности R равен:
   • R = h * cos(30°)

   Так как cos(30°) = √3/2, подставим значение h:

   • R = 24 * (√3/2) = 12√3 см
4. Теперь найдем сторону основания треугольника. Сторона a правильного треугольника связана с радиусом описанной окружности формулой:
   • a = R * √3

   Подставим значение R:

   • a = 12√3 * √3 = 36 см
5. Теперь мы можем вычислить площадь основания треугольной пирамиды. Площадь S правильного треугольника можно найти по формуле:
   • S = (a^2 * √3) / 4

   Подставим значение a:

   • S = (36^2 * √3) / 4 = (1296 * √3) / 4 = 324√3 см²

Таким образом, площадь основания правильной треугольной пирамиды составляет 324√3 см².