Какова сумма векторов АВ и СД, а также угол между ними, если заданы точки А(0;0;1), D(2;3;5), С(6;2;3) и Д(3;7;2)?

Геометрия 11 класс Векторы и их операции сумма векторов угол между векторами векторы АВ и СД координаты точек геометрия 11 класс векторы в пространстве расчет суммы векторов геометрические задачи векторная алгебра 3D координаты Новый

Чтобы найти сумму векторов АВ и СД, а также угол между ними, сначала определим координаты векторов.

Шаг 1: Найдем координаты векторов.

Вектор АВ можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

• Точка A(0;0;1)
• Точка B(2;3;5)

Координаты вектора АВ:

• ABx = Bx - Ax = 2 - 0 = 2
• ABy = By - Ay = 3 - 0 = 3
• ABz = Bz - Az = 5 - 1 = 4

Таким образом, вектор АВ = (2; 3; 4).

Теперь найдем вектор СД:

• Точка C(6;2;3)
• Точка D(3;7;2)

Координаты вектора СД:

• CDx = Dx - Cx = 3 - 6 = -3
• CDy = Dy - Cy = 7 - 2 = 5
• CDz = Dz - Cz = 2 - 3 = -1

Таким образом, вектор СД = (-3; 5; -1).

Шаг 2: Найдем сумму векторов АВ и СД.

Сумма векторов AВ и СД вычисляется по координатам:

• (ABx + CDx; ABy + CDy; ABz + CDz) = (2 + (-3); 3 + 5; 4 + (-1))

Таким образом, сумма векторов:

• Сумма = (-1; 8; 3).

Шаг 3: Найдем угол между векторами.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

• Скалярное произведение векторов AВ и СД:

Скалярное произведение = ABx * CDx + ABy * CDy + ABz * CDz:

• = 2 * (-3) + 3 * 5 + 4 * (-1) = -6 + 15 - 4 = 5.

Теперь найдем длины векторов:

• Длина вектора AВ = √(ABx^2 + ABy^2 + ABz^2) = √(2^2 + 3^2 + 4^2) = √(4 + 9 + 16) = √29.
• Длина вектора СД = √(CDx^2 + CDy^2 + CDz^2) = √((-3)^2 + 5^2 + (-1)^2) = √(9 + 25 + 1) = √35.

Теперь можем найти косинус угла между векторами:

• cos(θ) = (скалярное произведение) / (длина AВ * длина СД) = 5 / (√29 * √35).

Теперь найдем угол θ:

• θ = arccos(5 / (√29 * √35)).

Таким образом, мы получили:

• Сумма векторов AВ и СД = (-1; 8; 3).
• Угол между векторами AВ и СД = arccos(5 / (√29 * √35)).