Помогите, пожалуйста, грозит отчисление.

1. Даны векторы: m(2,-1,4) и n=2i+j-k. Как найти скалярное произведение (m+n)(m-2n)?
2. Даны вектора: |c|=3, |d|=4, и угол между ними (c^d)=90. Как найти скалярное произведение (2c+d)(c-2d)?
3. При каком значении β вектор a(3,-1,6) будет перпендикулярен вектору b(β,2,0)?
4. Как найти модуль вектора c-2d, если c(2,-1,0) и d(3,-1,4)?
5. Даны векторы a(3,-2,0) и b(1,3,-4). Как найти косинус угла между ними?
6. При каких значениях α и β векторы p(5,α,2) и q(β,-6,4) будут коллинеарны?

Геометрия 11 класс Векторы и их операции векторы скалярное произведение перпендикулярные векторы модуль вектора косинус угла коллинеарные векторы Новый

Давайте разберем все ваши вопросы по очереди.

1. Скалярное произведение (m+n)(m-2n)

Даны векторы m(2, -1, 4) и n(2, 1, -1). Сначала найдем векторы m+n и m-2n.

1. Сложим векторы m и n:
   • m+n = (2, -1, 4) + (2, 1, -1) = (2+2, -1+1, 4-1) = (4, 0, 3).
2. Теперь найдем 2n:
   • 2n = 2*(2, 1, -1) = (4, 2, -2).
3. Теперь найдем m-2n:
   • m-2n = (2, -1, 4) - (4, 2, -2) = (2-4, -1-2, 4+2) = (-2, -3, 6).

Теперь мы имеем векторы (m+n) = (4, 0, 3) и (m-2n) = (-2, -3, 6). Теперь находим их скалярное произведение:

1. (m+n)·(m-2n) = 4*(-2) + 0*(-3) + 3*6 = -8 + 0 + 18 = 10.

Ответ: скалярное произведение (m+n)(m-2n) равно 10.

2. Скалярное произведение (2c+d)(c-2d)

Даны векторы c и d с |c|=3, |d|=4 и угол между ними (c^d)=90. Это значит, что c и d перпендикулярны, и их скалярное произведение равно 0.

Сначала найдем векторы 2c и c-2d:

1. 2c = 2*(|c|) = 2*3 = 6.
2. c-2d = |c| - 2*|d| = 3 - 2*4 = 3 - 8 = -5.

Теперь находим скалярное произведение:

1. (2c+d)·(c-2d) = (6 + 0) * (-5) = -30.

Ответ: скалярное произведение (2c+d)(c-2d) равно -30.

3. Перпендикулярность векторов a и b

Вектор a(3, -1, 6) будет перпендикулярен вектору b(β, 2, 0), если их скалярное произведение равно 0:

1. a·b = 3*β + (-1)*2 + 6*0 = 3β - 2 = 0.

Решим уравнение:

1. 3β - 2 = 0 => 3β = 2 => β = 2/3.

Ответ: β = 2/3.

4. Модуль вектора c-2d

Даны векторы c(2, -1, 0) и d(3, -1, 4). Сначала найдем вектор 2d:

1. 2d = 2*(3, -1, 4) = (6, -2, 8).

Теперь найдем вектор c-2d:

1. c-2d = (2, -1, 0) - (6, -2, 8) = (2-6, -1+2, 0-8) = (-4, 1, -8).

Теперь находим модуль вектора c-2d:

1. |c-2d| = √((-4)² + 1² + (-8)²) = √(16 + 1 + 64) = √81 = 9.

Ответ: модуль вектора c-2d равен 9.

5. Косинус угла между векторами a и b

Даны векторы a(3, -2, 0) и b(1, 3, -4). Сначала найдем их скалярное произведение:

1. a·b = 3*1 + (-2)*3 + 0*(-4) = 3 - 6 + 0 = -3.

Теперь найдем модули векторов a и b:

1. |a| = √(3² + (-2)² + 0²) = √(9 + 4) = √13.
2. |b| = √(1² + 3² + (-4)²) = √(1 + 9 + 16) = √26.

Теперь можем найти косинус угла между векторами:

1. cos(θ) = (a·b) / (|a| * |b|) = -3 / (√13 * √26) = -3 / √338.

Ответ: косинус угла между векторами a и b равен -3 / √338.

6. Коллинеарность векторов p и q

Векторы p(5, α, 2) и q(β, -6, 4) будут коллинеарны, если существуют такие числа k, что p = k*q. Это означает, что:

1. 5 = k*β,
2. α = k*(-6),
3. 2 = k*4.

Из третьего уравнения выражаем k:

1. k = 2/4 = 1/2.

Теперь подставим k в первые два уравнения:

1. 5 = (1/2)*β => β = 10.
2. α = (1/2)*(-6) => α = -3.

Ответ: α = -3, β = 10.