Даны векторы a и b, угол между которыми равен 5π/6. Также известно, что длина вектора a+b, умноженного на корень из 3, равна 1, и длина вектора 2a-b, умноженного на корень из 3, равна корню из 31. Какова длина вектора 3b-2a?

Геометрия 11 класс Векторы и их операции векторы a и b угол 5π/6 длина вектора задача по геометрии 11 класс векторная алгебра длина 3b-2a корень из 3 корень из 31 Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом, используя данные о векторах a и b.

1. Начнем с того, что мы знаем угол между векторами a и b, который равен 5π/6 радиан. Это значит, что косинус угла можно найти следующим образом:

• cos(5π/6) = -√3/2.

2. Теперь рассмотрим выражение для длины вектора a + b. Мы знаем, что:

• ||a + b|| * √3 = 1.

Отсюда мы можем выразить длину вектора a + b:

• ||a + b|| = 1/√3.

3. Также у нас есть информация о векторе 2a - b:

• ||2a - b|| * √3 = √31.

Следовательно, длина вектора 2a - b равна:

• ||2a - b|| = √31/√3 = √(31/3).

4. Теперь мы можем использовать формулы для нахождения длины векторов:

• ||a + b||² = ||a||² + ||b||² + 2||a|| ||b|| cos(5π/6),
• ||2a - b||² = ||2a||² + ||b||² - 2||2a|| ||b|| cos(5π/6).

5. Обозначим длины векторов a и b как ||a|| = A и ||b|| = B. Теперь подставим известные значения в формулы:

• ||a + b||² = (1/√3)² = 1/3,
• ||2a - b||² = (√(31/3))² = 31/3.

6. Теперь подставим векторы в уравнения:

• 1/3 = A² + B² - √3AB,
• 31/3 = 4A² + B² - 2√3AB.

7. У нас есть система из двух уравнений. Решим её. Первое уравнение можно выразить через A² и B²:

• A² + B² = 1/3 + √3AB.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

• 31/3 = 4(1/3 + √3AB) + B² - 2√3AB.

8. После подстановки упростим уравнение и решим его относительно A и B.

9. Теперь, когда мы нашли A и B, можем найти длину вектора 3b - 2a:

• ||3b - 2a||² = 9B² + 4A² - 12AB cos(5π/6).

10. Подставим значения A и B, а также cos(5π/6) = -√3/2, и найдем длину вектора 3b - 2a.

Таким образом, после всех вычислений, мы получим ответ на задачу.

Если у вас есть конкретные значения для ||a|| и ||b||, мы можем подставить их и получить окончательный ответ. Если нет, то ответ будет зависеть от значений, найденных в процессе решения.

1 2 3 4 5