Чтобы найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью его основания, нам нужно использовать данные о площади боковой поверхности и площади осевого сечения. Давайте разберем шаги решения задачи.

1. Найдем радиус основания конуса. Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой:

   Площадь боковой поверхности = π * r * l,

   где r — радиус основания, l — длина образующей.

   По условию задачи, площадь боковой поверхности равна 36π. Значит:

   π * r * l = 36π.

   Отсюда:

   r * l = 36.

2. Найдем высоту конуса. Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника, которая выражается формулой:

   Площадь осевого сечения = 1/2 * r * h,

   где h — высота конуса.

   По условию задачи, площадь осевого сечения равна 9√15. Значит:

   1/2 * r * h = 9√15.

   Отсюда:

   r * h = 18√15.

3. Найдем длину образующей. Используя две полученные формулы:

   r * l = 36 и r * h = 18√15,

   мы можем выразить r и подставить его в одну из формул:

   l = 36/r и h = 18√15/r.

4. Найдем косинус угла. В треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, косинус угла между образующей и основанием конуса выражается как:

   cos(α) = h/l.

   Подставим найденные значения:

   l = 36/r и h = 18√15/r.

   cos(α) = (18√15/r) / (36/r) = 18√15/36 = √15/2.

Таким образом, косинус угла между образующей конуса и плоскостью его основания равен √15/2.