Каковы боковая поверхность и объем конуса, если его осевое сечение является прямоугольным треугольником с катетом 4√2 см?

Геометрия 11 класс Конус боковая поверхность конуса объем конуса осевое сечение прямоугольный треугольник катет 4√2 см Новый

Чтобы найти боковую поверхность и объем конуса, начнем с анализа осевого сечения, которое является прямоугольным треугольником с катетом 4√2 см.

Шаг 1: Определение радиуса основания и высоты конуса

В прямоугольном треугольнике, который является осевым сечением конуса, один из катетов будет равен радиусу основания конуса (r), а другой катет будет равен высоте конуса (h). Так как у нас есть только один катет, мы можем предположить, что:

• Катет 1 (r) = 4√2 см
• Катет 2 (h) = 4√2 см

Таким образом, радиус основания конуса равен 4√2 см, а высота конуса также равна 4√2 см.

Шаг 2: Нахождение боковой поверхности конуса

Боковая поверхность конуса (S) вычисляется по формуле:

S = π * r * l,

где l - образующая конуса, которая является гипотенузой нашего прямоугольного треугольника. Для нахождения l используем теорему Пифагора:

l = √(r² + h²).

Подставим значения:

• r = 4√2 см
• h = 4√2 см

l = √((4√2)² + (4√2)²) = √(32 + 32) = √64 = 8 см.

Теперь можем найти боковую поверхность:

S = π * (4√2) * 8 = 32π√2 см².

Шаг 3: Нахождение объема конуса

Объем конуса (V) вычисляется по формуле:

V = (1/3) * π * r² * h.

Подставим значения:

• r = 4√2 см
• h = 4√2 см

V = (1/3) * π * (4√2)² * (4√2) = (1/3) * π * 32 * 4√2 = (128/3)π√2 см³.

Итак, итоговые результаты:

• Боковая поверхность конуса: 32π√2 см²
• Объем конуса: (128/3)π√2 см³