Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем, как мы можем найти эти значения, исходя из данных, которые у нас есть.

Дано, что апофема пирамиды (обозначим ее как h_a) равна 12 см, а двугранный угол при ребре основания равен 60°. Апофема - это длина от вершины пирамиды до середины стороны основания.

Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты пирамиды (h). В правильной четырехугольной пирамиде высота, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.

Обозначим половину стороны основания как a/2, тогда:

• cos(30°) = (a/2) / h_a, где 30° - это угол между апофемой и высотой.
• h = h_a * cos(30°) = 12 * (sqrt(3)/2) = 12 * 0.866 ≈ 10.39 см.

Площадь основания (S) правильной четырехугольной пирамиды - это площадь квадрата. Мы знаем, что сторона квадрата (a) связана с апофемой и высотой.

Сначала найдем сторону квадрата. Используем синус угла 60°:

• sin(60°) = (h / h_a) = h / 12.
• h = 12 * sin(60°) = 12 * (sqrt(3)/2) = 12 * 0.866 ≈ 10.39 см.

Теперь мы можем выразить сторону квадрата:

• a = 2 * (h_a * sin(30°)) = 2 * (12 * 0.5) = 12 см.

Теперь найдем площадь основания:

• S = a^2 = 12^2 = 144 см².

Объем V правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

• V = (1/3) * 144 * 10.39 ≈ 499.68 см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет примерно 499.68 см³.