Какой объем имеет правильная треугольная пирамида, если боковое ребро равно 6 см и угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов?

Геометрия 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды объем правильной треугольной пирамиды боковое ребро 6 см угол 60 градусов геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В нашей задаче:

• Боковое ребро равно 6 см.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды (h).

Высота пирамиды можно найти, используя треугольник, образованный боковым ребром и высотой, опущенной на основание. В этом треугольнике:

• Боковое ребро является гипотенузой.
• Высота (h) и расстояние от вершины основания до проекции вершины пирамиды на основание (обозначим его как d) образуют прямой угол.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов.

Используем тригонометрические функции:

h = 6 * cos(60°).

Зная, что cos(60°) = 0.5, подставляем:

h = 6 * 0.5 = 3 см.

Шаг 2: Найдем площадь основания (S).

Основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником. Сначала найдем длину стороны основания (a). Мы знаем, что:

sin(60°) = h / 6.

Отсюда:

a = 6 * sin(60°).

Зная, что sin(60°) = √3/2, подставляем:

a = 6 * (√3/2) = 3√3 см.

Теперь можем найти площадь основания (S) равностороннего треугольника:

S = (√3/4) * a² = (√3/4) * (3√3)² = (√3/4) * 27 = (27√3)/4 см².

Шаг 3: Подставим значения в формулу объема.

Теперь мы имеем h = 3 см и S = (27√3)/4 см². Подставляем эти значения в формулу объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (27√3)/4 * 3.

Упрощаем:

V = (27√3)/4 см³.

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды составляет (27√3)/4 см³.