Какой объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной пирамиды объём правильной четырёхугольной пирамиды сторона основания 2 см боковые ребра 45 градусов Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте поэтапно разберем решение этой задачи.

Шаг 1: Найдем площадь основания.

Основание нашей пирамиды - это квадрат со стороной 2 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

Площадь = сторона × сторона.

Таким образом, площадь основания будет:

Площадь = 2 см × 2 см = 4 см².

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Из условия задачи известно, что боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Это значит, что образуется прямоугольный треугольник, где:

• одна сторона - это высота пирамиды (h);
• другая сторона - это половина диагонали основания (d/2);
• гипотенуза - это боковое ребро (l).

Сначала найдем длину диагонали квадрата. Диагональ квадрата вычисляется по формуле:

Диагональ = сторона × √2.

Таким образом, диагональ нашего квадрата будет:

Диагональ = 2 см × √2 = 2√2 см.

Половина диагонали будет равна:

d/2 = (2√2 см) / 2 = √2 см.

Теперь, используя тригонометрию, можем найти высоту. Так как угол наклона бокового ребра к основанию 45 градусов, то:

tg(45°) = h / (d/2).

Так как tg(45°) = 1, у нас получается:

1 = h / √2.

Следовательно, h = √2 см.

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Объем V пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) × Площадь основания × Высота.

Подставим найденные значения:

V = (1/3) × 4 см² × √2 см.

V = (4/3)√2 см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен (4/3)√2 см³.