Какой объём у правильной треугольной пирамиды, если её апофема составляет 8 см, а угол между гранями при основании равен 60 градусов?

Геометрия 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды объем правильной треугольной пирамиды апофема 8 см угол между гранями 60 градусов геометрия 11 класс формулы для объема пирамиды Новый

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберёмся, как это сделать, используя данные, которые у нас есть: апофема и угол между гранями.

Шаг 1: Найдём высоту пирамиды.

Апофема правильной треугольной пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до середины основания, перпендикулярное основанию. У нас есть угол между гранями при основании, который равен 60 градусов. Этот угол можно использовать для нахождения высоты.

В правильной треугольной пирамиде высота (h) и апофема (a) связаны следующим образом:

• h = a * cos(угол).

Так как угол между гранями равен 60 градусов, мы можем использовать косинус этого угла:

• h = 8 * cos(60°).
• cos(60°) = 0.5, следовательно, h = 8 * 0.5 = 4 см.

Шаг 2: Найдём площадь основания.

Основание пирамиды является правильным треугольником. Для нахождения площади правильного треугольника, нужно знать длину его стороны (a). Мы можем использовать апофему и угол для нахождения стороны основания.

Сторона основания (a) связана с апофемой и углом следующим образом:

• a = 2 * a * sin(угол/2).

Так как угол между гранями 60 градусов, угол при основании будет 30 градусов:

• a = 2 * 8 * sin(30°).
• sin(30°) = 0.5, следовательно, a = 2 * 8 * 0.5 = 8 см.

Теперь, зная сторону основания, мы можем найти площадь основания (S):

• S = (sqrt(3)/4) * a² = (sqrt(3)/4) * 8² = (sqrt(3)/4) * 64 = 16sqrt(3) см².

Шаг 3: Найдём объём пирамиды.

Объём V правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

• V = (1/3) * S * h.

Подставляем наши значения:

• V = (1/3) * 16sqrt(3) * 4 = (64/3)sqrt(3) см³.

Итак, объём правильной треугольной пирамиды составляет (64/3)sqrt(3) см³.