Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае основание пирамиды является правильным треугольником, а высота равна 2 корня из 3.

Шаг 1: Найдем длину стороны основания.

Поскольку боковое ребро создает угол 45 градусов с плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны основания.

• Обозначим длину стороны основания треугольника как a.
• Высота пирамиды h = 2√3.
• Боковое ребро (обозначим его как L) образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

Используя тригонометрическую функцию косинус, мы можем записать:

cos(45°) = h / L

Так как cos(45°) = 1/√2, то:

1/√2 = (2√3) / L

Отсюда можем выразить L:

L = 2√3 * √2 = 2√6.

Шаг 2: Найдем длину стороны основания a.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы выразить a через L. В правильной треугольной пирамиде высота делит основание на два равных отрезка, и мы можем записать:

(a/2)² + h² = L².

Подставим известные значения:

(a/2)² + (2√3)² = (2√6)².

(a/2)² + 12 = 24.

(a/2)² = 24 - 12 = 12.

a/2 = √12 = 2√3.

Следовательно, a = 4√3.

Шаг 3: Найдем площадь основания.

Площадь S правильного треугольника можно найти по формуле:

S = (√3 / 4) * a².

Подставим значение a:

S = (√3 / 4) * (4√3)² = (√3 / 4) * 48 = 12√3.

Шаг 4: Найдем объем пирамиды.

Объем V правильной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h.

Подставим значения S и h:

V = (1/3) * (12√3) * (2√3) = (1/3) * 24 * 3 = 24.

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды составляет 24.