Какой объем у правильной треугольной пирамиды, если высота составляет 2 корня из 3, а боковое ребро создает угол 45 градусов с плоскостью?

Геометрия 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды объем правильной треугольной пирамиды высота пирамиды боковое ребро угол 45 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае основание пирамиды является правильным треугольником, а высота равна 2 корня из 3.

Шаг 1: Найдем длину стороны основания.

Поскольку боковое ребро создает угол 45 градусов с плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны основания.

• Обозначим длину стороны основания треугольника как a.
• Высота пирамиды h = 2√3.
• Боковое ребро (обозначим его как L) образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

Используя тригонометрическую функцию косинус, мы можем записать:

cos(45°) = h / L

Так как cos(45°) = 1/√2, то:

1/√2 = (2√3) / L

Отсюда можем выразить L:

L = 2√3 * √2 = 2√6.

Шаг 2: Найдем длину стороны основания a.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы выразить a через L. В правильной треугольной пирамиде высота делит основание на два равных отрезка, и мы можем записать:

(a/2)² + h² = L².

Подставим известные значения:

(a/2)² + (2√3)² = (2√6)².

(a/2)² + 12 = 24.

(a/2)² = 24 - 12 = 12.

a/2 = √12 = 2√3.

Следовательно, a = 4√3.

Шаг 3: Найдем площадь основания.

Площадь S правильного треугольника можно найти по формуле:

S = (√3 / 4) * a².

Подставим значение a:

S = (√3 / 4) * (4√3)² = (√3 / 4) * 48 = 12√3.

Шаг 4: Найдем объем пирамиды.

Объем V правильной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h.

Подставим значения S и h:

V = (1/3) * (12√3) * (2√3) = (1/3) * 24 * 3 = 24.

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды составляет 24.