Для решения задачи о площади прямоугольной трапеции, нам необходимо использовать свойства вписанной окружности и некоторые геометрические соотношения.

Обозначим трапецию ABCD, где AB - большая боковая сторона, CD - меньшая боковая сторона, AD и BC - основания. Пусть радиус вписанной окружности равен r. В данной задаче нам даны расстояния от центра окружности O до концов боковой стороны AB, которые равны √2 и 2√2.

Поскольку трапеция является прямоугольной, то расстояние от центра окружности до боковых сторон будет равно радиусу окружности. Таким образом, мы можем записать:

• OA = r - √2
• OB = r - 2√2

Так как AB - это большая боковая сторона, можно предположить, что она равна a, а CD - меньшая боковая сторона, равная b. Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью выполняется следующее соотношение:

Площадь S трапеции равна:

S = (a + b) * h / 2,

где h - высота трапеции.

Также известно, что высота h равна диаметру окружности, то есть h = 2r.

Теперь подставим это в формулу для площади:

S = (a + b) * 2r / 2 = (a + b) * r.

Теперь мы можем выразить a и b через r. Из уравнений выше мы видим, что:

• a = r + √2,
• b = r + 2√2.

Теперь подставим a и b в формулу для площади S:

S = ((r + √2) + (r + 2√2)) * r = (2r + 3√2) * r = 2r² + 3√2r.

Теперь нам нужно найти значение r. Мы знаем, что расстояния от центра до концов большей боковой стороны равны √2 и 2√2. Это означает, что:

r - √2 = 0 и r - 2√2 = 0. Таким образом, r = 2√2.

Теперь подставим значение r в формулу площади:

S = 2 * (2√2)² + 3√2 * (2√2) = 2 * 8 + 3 * 4 = 16 + 12 = 28.

Таким образом, площадь данной трапеции равна 28.

Ответ: Площадь трапеции равна 28.